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Nicht ähnliche Matrizen mit gleichem Minimalpoly.
Universität / Fachhochschule
Polynome
Eigenwerte
Matrizenrechnung
Tags: Eigenwert, Matrizenrechnung, polynom
 
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Hallo zusammen Ich hätte eine kurze und vermutlich banale Frage.... Wir müssen ein Beispiel für zwei Matrizen in Mat(nxn,K) finden, die das selbe Minimalpolynom haben, obwohl sie nicht ähnlich sind. Ich habe A und folgendermassen gewählt: und Das Minimalpolynom lautet für A und Nun weiss ich, dass die Matrizen nicht ähnlich sind, da sie nicht das selbe charakteristische Polynom haben XA und XB stimmt das? Wir dürfen das charakteristische Polynom jedoch noch nicht brauchen. Deswegen wollte ich fragen, ob jemand einen anderen Weg sieht die Unähnlichkeit von zu beweisen. Liebe Grüsse Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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Sie haben unterschiedliche Determinanten. |
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Die Determinante haben wir auch noch nicht eingeführt. |
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Wir haben bereits die Diagonalisierbarkeit behandelt und haben die Eigenwerte von diagonalen Matrizen und Dreiecksmatrizen ermittelt. |
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Und was habt ihr überhaupt? Natürlich kann man auch den harten Weg gehen und und für eine allgemeine berechnen und vergleichen. |
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Also wir haben folgende Sätze bzw Lemmas. Zwei quadratische Matrizen ∈ Mat(n×n, heissen ähnlich, wenn es eine invertierbare Matrix ∈ GLn(K) gibt, so dass: B=T·A· gilt. Anders gesagt sind A und ähnlich, falls sie den gleichen Endomorphismus bezüglich verschiedener Basen darstellen. Zudem wissen wir das ähnliche Matrizen das selbe Minimalpolynom haben (hilft hier jedoch nicht) Folgende Behauptung könnte evtl auch noch helfen: Sei ∈ Mat(n × eine Diagonalmatrix mit der verschiedenen Diagonaleinträgen λ1, . . . , λk ∈ K. Dann ist das Minimalpolynom von gleich μD =(t−λ1)···(t−λk)∈Kt]. Bemerke, das μD über in Linearfaktoren zerfällt und dass es nur einfache Nullstellen hat. Das Minimalpolynom einer Dreiecksmatrix (aij) ∈ Mat(n × zerfällt in Linearfaktoren über K. In der Tat gilt für das Polynom =(t−a11)···(t−ann) Wir haben zudem noch die Diagonalisierbarkeit behandelt... |
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Mit dem charakteristischen Polynom und der Determinate wäre die Aufgabe natürlich trivial...keine Ahnung warum unser Prof. die Aufgabe ohne diese Werkzeuge gestellt hat. |
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Hallo, ein Ergebnis nicht gehabt zu haben, bedeutet ja nicht, dass an es nach Angabe eines eigenen Beweises nicht verwenden dürfte. Z.b. ändert sich die Spur (Summe der Diagonalelemente) nicht unter Ähnlichkeitstransformation. Und für diesen Beweis braucht man nur, dass SpurSpur gilt, was sich leicht direkt berechnen lässt. Damit würde folgen, dass SpurSpurSpur gilt, was ich oben behauptet habe. Die Spuren der beiden Matrizen und sind aber offensichtlich verschieden. Mfg Michael |
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Vielen Dank für deine Antwort. Der Zusammenhang der Spuren war mir noch nicht bewusst. Danke für den Hinweis Ich habe in der Zwischenzeit den Beweis manuell zu Ende geführt. Sprich ich habe gezeigt, dass AS = SB mit Nullmatrix und sind nicht ähnlich. Die Berechnung war übrigens erstaunlich einfach... |
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Vielen Dank für deine Antwort. Der Zusammenhang der Spuren war mir noch nicht bewusst. Danke für den Hinweis Ich habe in der Zwischenzeit den Beweis manuell zu Ende geführt. Sprich ich habe gezeigt, dass AS = SB mit Nullmatrix und sind nicht ähnlich. Die Berechnung war übrigens erstaunlich einfach... |
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Hallo, ich hoffe, dass du hier nur einfach ein bisschen knapp warst. Aus folgt gar nix. Eher umgekehrt: (letztlich das, was DrBoogie meinte. Aber dann: Ja, die Berechnung ist nicht schwierig, nur länglich. Mfg Michael |
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Ja meine Formulierungen waren einwenig knapp. Ich habe gezeigt, dass nur die Nullmatrix sein kann (siehe Anhang für Ausschnitt aus dem Beweis). Liebe Grüsse  |
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Hallo, ich bin etwas verwirrt. Ihr wisst nicht, was eine Determinante ist, wohl aber, was das charakteristische Polynom ist ??? Gruß ermanus |
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Nein weder noch. Ich habe den Beweis ohne Determinante bzw. charakteristisches Polynom geführt. Das Minimalpolynom kann ich für einige Matrizen ohne charakteristisches Polynom herleiten. |
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Seltsam ... |
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Was findest du seltsam? Die Reihenfolge die unser Prof für die Lin Alg Vorlesung verwendet? Die finde ich auch etwas seltsam... Wir haben bis Dato eifach nur Matrizen betrachtet, welche speziellen Gesetzmässigkeiten folgen. (Dreiecksmatrizen und Diagonalmatrizen). Deswegen wurde vermutlich auf eine formelle Einführung der Determinante und des charakteristischen Polynoms verzichtet... Die Aufgabe kann ja auch ohne gelöst werden, obwohl sie natürlich mit der Determinante bedeutend einfacher wäre. |
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Ja, genau! Diesen Stoffplan finde ich - ehrlich gesagt - bescheuert. Nun, er wird sicher besonders tiefgründige Motive haben ;-) |
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Vlt werden sich mir diese Gründe noch erschliessen :-P) |
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Oh ja, dann bitte ich dich, sie mir mitzuteilen ;-) Ein bisschen Erkenntnisgewinn soll ja nicht schädlich sein ... |
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