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Nicht freie Modul mit freie Untermodul
Universität / Fachhochschule
Ringe
Tags: Algebra, Moduln, Ring
 
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Hallo! Ich habe folgende Frage Sei M eine R-Modul und N ein Untermodul: a) Beschreibe eine Situation, wo N frei ist, M aber nicht. b) Ist Faktormodul M/N immer frei? c) Illustriere Antwort an zwei Beispielen. Die Theorie die wir machen hat nur die Definitionen von freie Moduln und somit habe ich viele Schwierigkeiten mit diese Frage. Falls M ein Modul ist und wir nehmen ein Element in M, und das Erzeugnis davon, also was wir erhalten von Potenzen von m, wäre das ein freie Modul? Wäre ZxZ/2 ein passendes Beispiel für unserem Fall? Und insbesonders, was kann ich über den Faktormodul sagen? Wie kann ich bestimmen ob es frei ist? Ich habe dieses Problem immer wenn Faktormoduln kommen. Danke im Voraus für eure Hilfe Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hallo simssims, ist ein gutes Beispiel für a), wobei ist, d.h. du schmeißt alle Torsionselemente raus und bekommst dein . Zu b) mache dir Gedanken über . Welches könnte man hier nehmen, damit nicht frei ist, also speziell bei unserem Ring Torsionselemente besitzt. Hierzu möchte ich noch folgenden Satz bemerken: Wenn ein Hauptidealring ist (wie unser ), so ist ein endlich erzeugter -Modul genau dann frei, wenn er torsionsfrei iet. Übrigens mit den Faktormoduln habe ich auch immer wieder Probleme ;-) LG ermanus |
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Hallo ermanus! Deine Antwort ist sehr klar und hilfreich. Mein Problem ist jetzt nur Elemente "herauszunehmen". Also ich glaub wenn bei M/N bleibt nur Z, dann wäre es frei, und wir wollen das nicht. Aber bei welche N würde nur Z bleiben? Bei N= Z/2Z x Z/2Z? Und was würde passieren falls wir N=Z/2Z haben, also wie wäre unser M/N? Also, mein Problem ist jetzt nur diese rechnen Teil mit diese Faktormoduln. LG simssims |
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