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Nicht triviale Lösung

Universität / Fachhochschule

Algebraische Zahlentheorie

Tags: Algebraische Zahlentheorie

evinda aktiv_icon

19:05 Uhr, 04.11.2014

Hallo :-)

Ich will prüfen, ob die Gleichung

5 x^{2} + 7 y^{2} - 3 z^{2} = 0

eine nicht-triviale Lösung in

ℚ

hat. Falls es eine Lösung gibt, soll ich eine finden, falls nicht, soll ich die p-adische Körper finden, in dene die Gleichung keine Lösung hat.

Ich habe den folgenden Satz benutzt:

<<

a, b, c \in ℤ, (a, b) = (b, c) = (a, c) = 1

a b c

ist quadratfrei. Dann hat die Gleichung

a x^{2} + b y^{2} + c z^{2} = 0

eine nicht-triviale Lösung in

ℚ \Leftrightarrow

a, b, c

sind nicht alle positiv und nicht alle negativ
2.

\forall p \in ℙ \ {2}, p ∣ a

\exists r \in ℤ

sodass

b + r^{2} c \equiv 0 m o d p

und eine ähnliche Kongruenz für

p \in ℙ \ {2}

, für dene es gilt

p ∣ b

p ∣ c

.
3. Wenn

a, b, c

alle ungerade sind, dann gibt es zwei von

a, b, c

, sodass deren Summe durch

4

teilbar ist.
4. Wenn

a

gerade ist, dann ist

b + c

oder

a + b + c

durch

8

teilbar.
Ähnlich, wenn

b

oder

c

gerade ist. >>

und bin zum Ergebnis gekommen, dass alle Bedingungen des Satzes erfüllt werden.

Wie kann ich aber eine Lösung dr Gleichung finden?

Könnte ich den Satz von Cassels anwenden?

abakus

22:06 Uhr, 04.11.2014

Ist die leicht sichtbare Lösung (1;1;2) per Definition trivial oder nur gefühlt trivial?

evinda aktiv_icon

01:05 Uhr, 05.11.2014

Nein, diese Lösung ist nicht trivial. Die einzige triviale Lösung ist

(0, 0, 0)

, oder nicht?

Wie kann man, im Allgemeinen, die Lösungen von solchen Gleichungen finden?

abakus

17:18 Uhr, 05.11.2014

Ich weiß nicht, ob das weiterhilft.
Es müssten ganze Zahlen p,q,r,s,t,u existieren mit

7 \frac{p^{2}}{q^{2}} + 5 \frac{r^{2}}{s^{2}} - 3 \frac{t^{2}}{u^{2}} = 0

und (p,q), (r,s) und (t,u) sind Paare zueinander teilerfremder Zahlen.
Durchmultiplizieren mit den Nennern führt zu

7 p^{2} s^{2} u^{2} + 5 q^{2} r^{2} u^{2} - 3 q^{2} s^{2} t^{2} = 0

, was man mod 3, mod 5 und mod 7 betrachten könnte.
Simultane quadratische Kongruenzen - das schreckt irgendwie ab.
Ich müsste mal in meinem "Heimatforum" fragen ...

evinda aktiv_icon

19:12 Uhr, 06.11.2014

Gibt es auch einen anderen Weg, eine Lösung zu finden?

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