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Nicht unabhängig aber unkorreliert

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Zufallsvariablen

Tags: Zufallsvariablen

Stochastikerin

11:34 Uhr, 15.12.2021

Sei

Z

eine auf

[0, π]

gleichverteilte ZV

Aufgabe:
Zeige, dass die ZVen

X := 1 + cos (Z)

und

Y := sin (Z)

nicht unabhängig, aber unkorreliert sind.

Unkorreliert, wenn Cov(X,Y)

= 0

Das stimmt auch (Rechenweg ist bereits vollzogen). Wie kann ich aber zeigen, dass die beiden nicht unabhängig sind? Ich habe nur den Satz gefunden, dass 2 ZV unabhängig sind, wenn gilt:

E (X \cdot Y) = E (X) \cdot E (Y)

Das wäre hier ja der Fall. Aber das kann laut Aufgabenstellung nicht sein.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

11:45 Uhr, 15.12.2021

UPDATE. Korrigiert.

" gefunden, dass 2 ZV unabhängig sind, wenn gilt:E(X⋅Y)=E(X)⋅E(Y)"

Diesen Satz gibt es nicht, es stimmt auch nicht. Es gilt umgekehrt: wenn ZV unabhängig, dann

E (X Y) = E (X) E (Y)

. Aber nur in diese Richtung.

E (X Y) = E (X) E (Y)

ist übrigens dasselbe wie

C o v (X, Y) = 0

.

Du musst zeigen, dass es Interval

(a, b)

und

(c, d)

gibt, so dass

P (X \in (a, b) \cap Y \in (c, d)) \neq P (X \in (a, b)) \cdot P (Y \in (c, d))

Stochastikerin

12:13 Uhr, 15.12.2021

"Du musst zeigen, dass es Interval

(a, b)

und

(c, d)

gibt, so dass

P (X \in (a, b) \cap Y \in (c, d)) \neq P (X \in (a, b)) \cdot P (Y \in (c, d))

"

Okay, nehmen wir einfach mal ein Beispiel:
Sei

(a, b) = (0,1)

und

(c, d) = (2, π)

P (X \in (0,1) \cap Y \in (2, π)) = . .

P (X \in (0,1)) \cdot P (Y \in (2, π)) = . .

.

Jetzt ist

X := 1 + cos (Z), Y := sin (Z)

und

z

gleichverteilt auf

[0, π]

.

Wie kriege ich nun aber die Wahrscheinlichkeiten raus?

HAL9000

12:41 Uhr, 15.12.2021

Ganz schlechte Wahl der Intervalle: Da

Y

nur Werte in

[0, 1]

annimmt, ist

P (X \in (a, b), Y \in (2, π)) = P (Y \in (2, π)) = 0

, womit kein Blumentopf zu gewinnen ist, wenn es um ein Gegenbeispiel zur Unabhängigkeit geht. :(

Nein, man kann beispielsweise was wählen, wo die Einzelwahrscheinlichkeiten positiv, die Durchschnittswahrscheinlichkeit aber Null ist, beispielsweise

P (X \geq 1 + \frac{\sqrt{3}}{2}) = P (\cos (Z) \geq \frac{\sqrt{3}}{2}) = P (Z \leq \frac{π}{6}) = \frac{1}{6}

P (Y \geq \frac{\sqrt{3}}{2}) = P (\sin (Z) \geq \frac{\sqrt{3}}{2}) = P (\frac{π}{3} \leq Z \leq \frac{2 π}{3}) = \frac{1}{3}

aber

P (X \geq 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} \land Y \geq \frac{\sqrt{3}}{2}) = P (Z \leq \frac{π}{6} \land \frac{π}{3} \leq Z \leq \frac{2 π}{3}) = 0

.

P.S. (für Maßtheorie-Kundige): Die Unbhängigkeit ist schon allein deswegen nicht erfüllt, weil zwar

X, Y

für sich jeweils eindimensional stetig verteilt sind, der Vektor

(X, Y)

aber NICHT zweidimensional stetig verteilt sein kann, weil die Bildmenge von

(X, Y)

ℝ^{2}

wegen

(X - 1)^{2} + Y^{2} = 1

eine Kreislinie ist, d.h., nur eindimensional. Damit kann es keine Radon-Nikodym-Dichte

f_{X, Y}

bzgl. des zweidimensionalen Lebesgue-Maßes geben.

Dank der Einschränkung

Z \in [0, π]

besteht hier sogar der direkte funktionale Zusammenhang

Y = \sqrt{1 - {(X - 1)}^{2}}

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