Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Nichtlineare Optimierung

Nichtlineare Optimierung

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: nichtlineares Gleichungssystem

Manolo19870 aktiv_icon

10:21 Uhr, 03.01.2014

Hallo Zusammen,

im Rahmen der Lehveranstaltung Operations Research an meiner FH müssen wir folgendes Beispiel der nichtlinearen Optimierung lösen:

__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}

Lösen Sie das folgende nichtlineare Optimierungsproblem:
Zielfunktion

= (x

– 6)²

\cdot (y

– 9/2)²
NB

1 : x^{2} + y^{2} \leq 25

2 : x + y \geq 4

3 : x, y \geq 0

Die Zielfunktion soll minimiert werden.

__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}

Nach etlichen Stunden reiflicher Überlegung sind meine Kollegen und ich zu dem Schluss gekommen, dass wir uns mit der Thematik nicht sonderlich gut auskennen und sind beim Lösen kläglich gescheitert.

Evtl. ist hier jemand, der uns auf die richtige Fährte bringen könnte, wie wir das lösen könnten?

LG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

anonymous

11:06 Uhr, 03.01.2014

Hallo
Ich schlage vor, ihr macht euch eine Skizze.

a)

Zielfunktion
Ich habe im ersten Gedankenblitz statt des Multiplikationszeichens ein Pluszeichen vor meinen Augen gehabt. Dann wäre die Zielfunktion (das Quadrat einer) eine Kreisfunktion. Je weiter wir vom 'Kreis'-Mittelpunkt

[x = 6; y = 4.5]

Abstand gewinnen, desto ungünstiger.

Tatsächlich hat die Zielfunktion ein Multiplikationszeichen.
Qualitativ bleibt dennoch die Tatsache: je weiter wir vom Mittelpunkt weg sind, desto ungünstiger.
Jedoch bleibt durch das Multiplikationszeichen eine Besonderheit:

>

überall auf der Geraden

x = 6

ist die Zielfunktion Null, also mimimal.

>

überall auf der Geraden

y = 4.5

ist die Zielfunktion Null, also minimal.

b)

Nebenbedingung 1:
Die beschreibt einen Kreis um den Koordinatenursprung mit

R = 5

c)

Nebenbedingung 2:
Die beschreibt die Geradengleichung

y \geq 4 - x

d)

Nebenbedingung 3:
Die beschreibt den ersten Quadranten.

e)

Ich zweifle das Relationszeichen in NB2 an. Soll das wirklich

x + y > 4

heissen?
Falls ja, dann sagt mir die Skizze:
Auf allen Punkten der Strecke

y = 4.5

im Intervall

[0 \leq x \leq 2.17945]

sind alle Nebenbedingungen erfüllt,
und ist die Zielfunktion = NULL.
Kleiner als Null kann sie nicht werden.
Also sollte so ein vieldeutiges Optimum beschrieben sein.

f)

Wie gesagt, ich zweifle das Relationszeichen in NB2 an.
Die Aufgabe würde etwas mehr Sinn machen, mit:

x + y \leq 4

Dann:
Selbst dann deutet die Skizze schon an, dass die Ecke um den Punkt

[x = 0; y = 4]

verdächtig ist, das Minimum zu beschreiben, da sie eben so dicht an der

y = 4.5

Linie liegt, die die Zielfunktion zu NULL macht.

pleindespoir aktiv_icon

11:06 Uhr, 03.01.2014

z (x, y) = (x - 6) ² \cdot (y - 9 / 2) ²

NB 1:

x^{2} + y^{2} \leq 25

x^{2} + y^{2} = 25

y^{2} = 25 - x^{2}

y = \sqrt{25 - x^{2}}

z (x) = (x - 6) ² \cdot (\sqrt{25 - x^{2}} - 9 / 2) ²

\frac{\partial z}{\partial x} = 0

...

pleindespoir aktiv_icon

11:20 Uhr, 03.01.2014

EDIT: gelöscht wegen Fehler

pleindespoir aktiv_icon

11:25 Uhr, 03.01.2014

EDIT: gelöscht wegen Fehler

Manolo19870 aktiv_icon

11:32 Uhr, 03.01.2014

Okay, das hört sich gut an. Mein Ansatz war ursprünglich auch, dass ich eine der Variablen "ersetzen" sollte, aber dass ich da auf die Nebenbedingung zurückgreifen könnte, ging mir leider nicht in den Kopf...

Werde mir das mal grafisch darstellen und schauen, ob das für mich so praktikabel ist... Hoffe, dass ich mich nochmal melden darf, wenn noch was unklar ist.

Vorab schon mal vielen Dank!

pleindespoir aktiv_icon

11:44 Uhr, 03.01.2014

EDIT: gelöscht wegen Fehler

Manolo19870 aktiv_icon

11:57 Uhr, 03.01.2014

Okay, na ich werd mir das mal ansehen.
Wir sollen zur Lösungsfindung ohnehin ein Tool verwenden und ich werd das mal mit dem von dir genannten Lösungsansatz versuchen... Mal schauen, ob das des Problems Lösung ist ;-)

pleindespoir aktiv_icon

19:02 Uhr, 03.01.2014

Vielleicht sehen wir zunächst mal nach, wie sich die Funktion so verhält und wo es kritische Stellen gibt:

z (x, y) = (x - 6)^{2} \cdot (y - \frac{9}{2})^{2}

\frac{\partial z}{\partial x} = (2 x - 12) \cdot (y - \frac{9}{2})^{2}

\frac{\partial z}{\partial x} = 0

x_{k} = 6

\frac{\partial z}{\partial y} = (x - 6)^{2} \cdot (2 y - 9)

\frac{\partial z}{\partial y} = 0

y_{k} = 4, 5

dann schaun wir mal, ob dieser Punkt

K (x_{k}, y_{k})

innerhalb der Definitionsfläche, welche durch die drei Nebenbedingungen beschrieben wurde, liegt - oder nicht, dann wissen wir wenigstens, an welcher Kante wir weitersuchen müssen.

pleindespoir aktiv_icon

19:10 Uhr, 03.01.2014

Der Punkt K erfüllt die Nebenbedingungen 2 und 3.

Nur mit NB 1 gibts Stress - daher sucht man entlang dieser Linie durch Verknüpfen der NB mit der HB und Bildung der Ableitung soweie deren Nullstellensuche das Extremum entlang dieser Grenzlinie. (siehe ziemlich oben)

Korrekterweise müsste man vorher noch schauen, ob K die einzige kritische Stelle ist und wie es um die Monotonie drumrum ausschaut - aber das ist hier kein Problem, weil K das einzige Extremum und offenbar Minimum ist.

anonymous

10:18 Uhr, 12.01.2014

04.01

. schickte mir Manolo eine persönliche Nachricht:
"
Hi,
danke für deine gestrige Antwort zu meiner Fragestellung.
Soweit kann ich deinen Gedankengängen folgen, allerdings hätte ich noch 2 Fragen zu dem Thema:
Warum kann die Zielfunktion nicht kleiner Null sein?
Eine Skizze wäre in der Lösung ganz gut und ich hatte kein Problem damit, die drei Nebenbedingungen grafisch darzustellen und den Lösungsbereich zu finden. Allerdings weiß ich nicht, wie ich die Zielfunktion grafisch darstellen könnte? Hast du da auch noch einen Tipp für mich?
LG
"

a)

Vorschlag: Schreib deine Fragen doch hier in das Forum rein.
Vorteile:

>

Dazu ist es da.

>

Hier können auch noch weitere Teilnehmer Tips, Hinweise und Mitdenken einbringen.

>

Dann müsstest du nicht warten, bis ich nach 8 Tagen mal zufällig über meine Nachrichten stolpere.

b)

Warum kann die Zielfunktion nicht kleiner Null sein?
Die Zielfunktion ist das Quadrat eines Ausdrucks multipliziert mit dem Quadrat eines Ausdrucks
Zielfunktion

= {[f (x)]}^{2} \cdot {[f (y)]}^{2}

Ein Quadrat kann nicht kleiner als Null werden.
Das Produkt zweier positiver Ausdrücke kann nicht kleiner als Null werden.

c)

Zielfunktion graphisch darstellen.
Die Zielfunktion habe ich in meiner Skizze auch nicht graphisch dargestellt. Ich habe mich auf die Geraden und Kreise beschränkt. Das reicht für die genannten Gedanken eigentlich auch.
Sonst mit ein wenig Vorstellungskraft könnte man sich die Zielfunktion schon als Iso-Linien vorstellen, die sich als 'Hyperbeln' an die beiden Geraden

x = 6

y = 4.5

anschmiegen.
Je näher die Hyperbeln dem Punkt

[x = 6; y = 4.5]

kommen, desto kleiner ist der Iso-Zielfunktionswert.

1137175

1135567

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?