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Nikotin-Aufgabe; Halbwertszeit

Schüler Fachoberschulen, 12. Klassenstufe

Tags: Funktion, Halbwertszeit, Prozent

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18:50 Uhr, 22.01.2015

Nikotin wird im menschlichen Körper mit einer Halbwertszeit von

60

Minuten abgebaut.

a)

Die Restmenge, die nach

t

Minuten noch vorhanden ist, kann durch die Funktion

N (t) = N_{0} \cdot e^{- k \cdot t}

dargestellt werden. Berechne die Konstante

k

auf 4 Dezimalen genau.

Meine Lösung:

N (60) = \frac{1}{2} N_{0} = N_{0} \cdot e^{- k \cdot t}

also

60 = 30 \cdot e^{- k \cdot 60} | : 30

2 = e^{- k \cdot 60} | ln

ln (2) = - k \cdot 60 | : 60

\frac{ln (2)}{60} = - k | \cdot (- 1)

- 0,0116 = k

Soweit so gut, das war Aufgabe

a)

b)

lautet: Wie viel Prozent des vorhandenen Nikotins werden pro Minute abgebaut?

Wäre die Lösung

1,16 %

? Falls nein, könnt ihr mir helfen, bzw. den Rechenweg aufschreiben wie man auf dieses Ergebnis kommt?

Bei Aufgabe

c)

bin ich total verzweifelt. Sie lautet so:
Wie lange dauert es, bis noch

1 %

der ursprünglichen Menge übrig ist?

Hier habe ich auch noch keinen Ansatz. Bzw ich hätte welche, aber die sind "Müll".

Und die letzte Aufgabe

d)

lautet:
Beim Rauchen einer Zigarette gelangen 1,5mg Nikotin ins Blut. Herr N. raucht drei Zigaretten im Abstand von je einer halben Stunde. Wie viel Nikotin befindet sich nach der dritten Zigarette in seinem Körper?

Bitte um Hilfe!

Vielen Dank schon im Vorraus

LG Joplayfull

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentielles Wachstum (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen
Exponentielles Wachstum und Zerfall

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19:19 Uhr, 22.01.2015

Kann man auch einfach in die Formel einsetzen (wenn man weiss wie : )

N (t) = N_{0} \cdot e^{- k t}

Wieveil bleiben nach einer Minute? also für t = 1 setzen:

N (1) = N_{0} \cdot e^{- k \cdot 1}

N_{0} \cdot e^{- k} = N_{0} \cdot 0, 988467

Bleiben also nach 1 Minute 98,8467%, abgebaut werden 1,1533% (wenn man's ganz genau nimmt).

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19:43 Uhr, 22.01.2015

b)

ich habe das von einen Freund zugeschickt bekommen.. Er hat es irgendwie so ausgerechnet.. Ich weiß aber nicht wie man da drauf kommt.

N = 1 \cdot {0,5}^{\frac{1}{60}}

N = 0,9885

N = 98,85 % \to 1,15 %

(hatte mich eben verschrieben). Kannst du mir noch mal deinen Rechenweg schicken und erläutern bitte?

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19:57 Uhr, 22.01.2015

Kann man auch einfach in die Formel einsetzen (wenn man weiss wie : )

N (t) = N_{0} \cdot e^{- k t}

Wieveil bleiben nach einer Minute? also für t = 1 setzen:

N (1) = N_{0} \cdot e^{- k \cdot 1}

N_{0} \cdot e^{- k} = N_{0} \cdot 0, 988467

Bleiben also nach 1 Minute 98,8467%, abgebaut werden 1,1533% (wenn man's ganz genau nimmt).

P.S. Habe jetzt meine erste Antwort einfach überschrieben und kann sie nicht mehr bearbeiten, also hier nochmals:

Ich komme bei b) auf 1,1533%, also wenn schon 1,15 wenn man auf 2 Stellen rundet.

Bei a hast Du übrigens gar nicht gesagt, wie die ganze Aufgabe lautet, kann man nur aus Deinen Berechnungen erraten: Heisst wohl, nach 60 Min. ist noch die Hälfte Nikotin im Blut - berechnen Sie k. Dann käme ich auch auf die - 0,0116.

Bei c) kannst Du einfach alles einsetzen:
N(t) ist ja die jeweilige Restmenge, also:

N (t) = N_{0} \cdot e^{- k \cdot t} = 1 %

Jetzt muss man t finden (k haben wir ja, und das 1% kann man anders hinschreiben) - bleibt nur auszurechnen.

Stephan4

19:58 Uhr, 22.01.2015

Mir kommt das raus:

a)

N_{60} = \frac{N_{30}}{2}

N_{0} \cdot e^{- 60 k} = \frac{N_{0}}{2} \cdot e^{- 30 k}

2 = e^{30 k}

\frac{ln 2}{30} = k = 0,0231

b)

\frac{N_{0} \cdot e^{- k \cdot (t + 1)}}{N_{0} \cdot e^{- k \cdot t}} =

e^{(- k t - k + k t) = e^{- k} = e^{- 0,0231} = 0,9772 = 1 - 0,0228}

Abbau pro Minute:

2,28 %

c)

N_{0} \cdot e^{- k \cdot t} = 0,01 N_{0}

- k \cdot t = ln 0,01

t = - \frac{ln 0,01}{k} = - \frac{ln 0,01}{0,0231} = 199,316

wenn ich nicht irre.

:-)

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20:08 Uhr, 22.01.2015

Mir scheint's schon, Du irrst, Stephan:

N_{0} \cdot e^{- 60 k} = \frac{N_{0}}{2}

und nicht =

\frac{N_{0}}{2} \cdot e^{- 30 k}

Oder irre ich? bin gerade etwas verunsichert …
Nee, was verunsichert, meins stimmt doch, stimmt's oder habe ich recht?

Stephan4

20:18 Uhr, 22.01.2015

OK, dann so:

a)

N_{60} = \frac{N_{0}}{2}

N_{0} \cdot e^{- 60 k} = \frac{N_{0}}{2}

2 = e^{60 k}

\frac{ln 2}{60} = k = 0,0116

b)

\frac{N_{0} \cdot e^{- k \cdot (t + 1)}}{N_{0} \cdot e^{- k \cdot t}} =

e^{(- k t - k + k t) = e^{- k} = e^{- 0,0116} = 0,9885 = 1 - 0,0115}

Abbau pro Minute:

1,15 %

c)

N_{0} \cdot e^{- k \cdot t} = 0,01 N_{0}

- k \cdot t = ln 0,01

t = - \frac{ln 0,01}{k} = - \frac{ln 0,01}{0,0116} = 399,6

hoffentlich stimmt das nun.
Graphisch scheint das in Ordnung zu sein

(s . u .)

.

:-)

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20:23 Uhr, 22.01.2015

Wow, das ging aber schnell...

Bin bei c) auf 397 Min. gekommen, habe immer mit k = -0,0116 (also auf 4 Stellen gerundet) gerechnet. Also ganz genau: 396,99743 : )

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20:29 Uhr, 22.01.2015

Kannst du mir deinen Rechenweg zeigen? Für Aufgabe

c

jetzt.

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20:39 Uhr, 22.01.2015

Hat eigentlich schon Stephan schön vorgerechnet, vielleicht etwas langsamer:

Wie lange dauert es, bis noch 1% übrig sind? 1% = 0,01, also:

N (t) = N_{0} \cdot e^{- k t} = N_{0} \cdot 0, 01

e^{- k t} = 0, 01

- k t = l n (0, 01)

t = \frac{l n (0, 01)}{- k} = 397

Also 397 Minuten.

Probe:

e^{397 \cdot - k} = e^{- 4, 6052} = 0, 00999 = 1 %

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20:42 Uhr, 22.01.2015

Achso, das habe ich jetzt verstanden :-)
hast du noch Aufgabe

d)

gemacht bzw kannst du mir erklären, wie man da vorgeht? :-)

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20:50 Uhr, 22.01.2015

zu d)

Er raucht 3 Zigaretten zu 1,5mg Nikotin im Abstand von 30 Minuten. Wieviel Nikotin hat er gleich nach dem Rauchen der dritten im Blut?

Da würde ich aufteilen:
Die erste Zigarette bleibt ja 1 Stunde im Blut, also:

1)

1, 5 \cdot e^{- 60 k}

Die zweite bleibt 30 Minuten im Blut:

2)

1, 5 \cdot e^{- 30 k}

Von der letzten bleiben die ganzen 1,5 mg im Blut (es wird ja gleich nach dem Rauchen der letzten gezählt).

Die drei zusammenzählen, komme so auf etwa 3,3 mg (ohne Garantie) - und jetzt muss ich Essen gehen, werde also eine Zeitlang nicht mehr reinschauen.

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20:54 Uhr, 22.01.2015

Alles klar, guten Appetit :-)
Noch mal danke für deine Hilfe!

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