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Nilpotente Endomorphismen

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Vektorräume

Tags: Endomorphismus, Linear Abbildung, Nilpotenz, Vektorraum

YouAndMe aktiv_icon

17:03 Uhr, 10.12.2017

Hallo, cih komme bei dieser Aufgabe irgendwie nicht weiter. Ich kann mir nicht vorstellen, wie so ein nilpotenter Endomorphismus aussehen soll: Vielleicht hat jemand ein Beispiel und kann mir dann beim Lösen der Aufgaben helfen.

Seien

V

ein K-Vektorraum und

p

ein Endomorphismus auf V. Wir nennen

p

nilpotent mit Index

k,

wenn gilt

p^{k} = p \circ . .

\circ p

(k-mal)

= 0 A V, V

und

k

die kleineste natürliche Zahl mit dieser Eigenschaft ist.

a)

Geben Sie alle nilpotenten Endomorphismen für

K = V = R

an.

b)

Geben Sie je ein Beispiel für einen nilpotenten Endomorphismus mit Index

1, 2

und 3 an.

c)

Zeigen Sie folgende Äquivalenz:

p

nilpotent mit Index

\leq 2 \Leftrightarrow

Im(p) sub Kern(p)

Bei der

a)

kann ich mir als Lösung nur die Nullabbildung vorstellen, warum bleibt aber ein Rätsel für mich selbst...

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

pwmeyer aktiv_icon

17:26 Uhr, 10.12.2017

Hallo,

wenn

V = ℝ

ist, dann ist eine Endomomorphismus durch ein

a \in ℝ

definiert, und zwar durch

p (x) = a \cdot x

. Dann ist

p \circ p (x) = a^{2} \cdot x

und wo weiter. Wenn also

a \neq 0

ist dann auch alle

p^{k}

.

Nilpotente Endos über dem

ℝ^{n}

sind zum Beispiel Matrizen, die auf und unter der Diagonalen nur Nullen haben. Probiers mal für

n = 2

und

n = 3

aus.

Gruß pwm

YouAndMe aktiv_icon

17:35 Uhr, 10.12.2017

Das bringt schon etwas Licht ins Dunkle. Für

n = 2

hätte man dann

z

. B. die Matrix

(\begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix})

und für

n = 3 (\begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix})

?

Unabhängig, ob das stimmt oder nicht; wie würde man sowas formal aufschreiben?

pwmeyer aktiv_icon

17:43 Uhr, 10.12.2017

Berechne die entsprechenden Matrizenprodukte und schau, ob irgendwann die Null-Matrix auftaucht.

YouAndMe aktiv_icon

17:48 Uhr, 10.12.2017

Für die

n = 2

Matrix kommt man bei

^2

auf die Nullmatrix und bei der

n = 3

Matrix kommt man bei

^3

auf die Nullmatrix. Ist das denn dann das, was mit Index gemeint ist?

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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