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Nilpotenter Endomorphismus

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Tags: Angewandte Lineare Algebra, Linear Abbildung, Vektorraum

 
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Sekorita

Sekorita aktiv_icon

13:34 Uhr, 12.05.2020

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Hallo, ich habe folgende Aufgabe diese Woche bekommen und ich tue mich beim Thema nilpotenter Endomorphismus schwer. Könnte mir evtl. jemand diesen und folgende Aufgabe erklären und mit mir lösen.

Sei ϕ : V → V ein nilpotenter Endomorphismus eines n-dimensionalen Vektorraumes. Wir wollen n ≥ 1 annehmen. Wir haben in der Vorlesung gelernt, dass es dann ein r ∈ N und positive ganze Zahlen {hi}I=1,...,r sowie Vektoren {vi}i=1,...,r in V gibt mit:


Summe i=1-r hi = n und {ϕ^j (vi)}_i=1,...r j=0,...,hi−1 ist Basis. Berechnen Sie f¨ur alle k ∈ N die Dimension des Kerns von ϕ^k.

(Auch nochmal als Bild unten)

Mathe Nilpotent

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Antwort
pwmeyer

pwmeyer aktiv_icon

17:18 Uhr, 13.05.2020

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Hallo,

ich kenne diesen Satz nicht, reime mir aber zusammen, dass φm(vi)=0 ist, falls mhi?
Dann liegen alle φj(vi) mit j+khi im Kern von φk. Diese spannen aber auch den Kern auf. Denn wenn x im Kern liegt und die Basisdarstellung

x=i=1rj=0hi-1si,jφj(vi)

dann gilt:

0=φk(x)=i=1rj+k<hisi,jφj(vi)

Wegen der Basis-Eigenschaft müssen alle si,j in der letzten Summe gleich 0 sein. Also liegen nur die

x=i=1rj+khisi,jφj(vi)

im Kern von φk.

Ich weiß nicht, ob über die hi noch irgendetwas bekannt ist, so dass man eine Formel für die Dimension angeben kann.

Gruß pwm

Frage beantwortet
Sekorita

Sekorita aktiv_icon

11:08 Uhr, 22.05.2020

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Danke für deine Hilfe