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Nilpotenter Endomorphismus
Universität / Fachhochschule
angewandte lineare Algebra
Lineare Abbildungen
Vektorräume
Tags: Angewandte Lineare Algebra, Linear Abbildung, Vektorraum
 
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Hallo, ich habe folgende Aufgabe diese Woche bekommen und ich tue mich beim Thema nilpotenter Endomorphismus schwer. Könnte mir evtl. jemand diesen und folgende Aufgabe erklären und mit mir lösen. Sei ϕ : V → V ein nilpotenter Endomorphismus eines n-dimensionalen Vektorraumes. Wir wollen n ≥ 1 annehmen. Wir haben in der Vorlesung gelernt, dass es dann ein r ∈ N und positive ganze Zahlen {hi}I=1,...,r sowie Vektoren {vi}i=1,...,r in V gibt mit: Summe i=1-r hi = n und {ϕ^j (vi)}_i=1,...r j=0,...,hi−1 ist Basis. Berechnen Sie f¨ur alle k ∈ N die Dimension des Kerns von ϕ^k. (Auch nochmal als Bild unten)  Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hallo, ich kenne diesen Satz nicht, reime mir aber zusammen, dass ist, falls ? Dann liegen alle mit im Kern von . Diese spannen aber auch den Kern auf. Denn wenn im Kern liegt und die Basisdarstellung dann gilt: Wegen der Basis-Eigenschaft müssen alle in der letzten Summe gleich 0 sein. Also liegen nur die im Kern von . Ich weiß nicht, ob über die noch irgendetwas bekannt ist, so dass man eine Formel für die Dimension angeben kann. Gruß pwm |
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Danke für deine Hilfe |
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