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Niveaulinien

Universität / Fachhochschule

Tags: Analysis, Niveaulinien

Kruemel-nk aktiv_icon

11:22 Uhr, 23.06.2008

Skizzieren Sie f¨ur die folgenden Funktionen jeweils die Niveaulinien zu den Niveaus −1, 0, 1 und 2 sowie die Funktionen selbst.

f : R^2 → R: (x, y) → x^2 + 2y^2

g : R^2 → R: (x, y) → cos(x^2 + y^2)

kann mir bitte jemand zeigen wie ich dort vorgehen!?

thx

m-at-he

13:05 Uhr, 23.06.2008

Hallo,

beiden Funktionen ist eines gemeinsam:

x

und

y

tauchen immer in der Kombination

x^{2} + y^{2}

auf. Was passiert nun, wenn

x^{2} + y^{2} = c^{2}

und

c

ist eine beliebige Konstante? Dann sind die Funktionswerte für alle Paare

(x; y)

die diese Gleichung erfüllen gleich. Aber wo liegen diese Paare

(x; y)

? Die Gleichung

x^{2} + y^{2} = c^{2}

beschreibt einen Kreis in der x-y-Ebene um den Ursprung und der Radius dieses Kreises ist

c,

die Niveaulinien sind also Kreise!

Jetzt betrachten wir mal einen Schnitt durch die Funktionen

f

und

g,

Schnittebene ist die x-z-Ebene,

d . h

y = 0

für unseren Funktionswert.

Dann sieht man bei

f

eine Parabel

(z = x^{2})

. Da die Funktion auf Kreislinien immer den selben Funktionswert hat, kann man sich die Funktion als um die y-Achse rotierende Parabel

z = x^{2}

vorstellen. Die gesuchten Niveaulinien sind die Kreise in der x-y-Ebene:

- 1 :

keine Lösung!

0 :

entarteter Kreis mit Radius

0, d . h

. ein Punkt, der Ursprung!

1 :

Kreis mit dem Radius 1

2 :

Kreis mit dem Radius

\sqrt{2}

Bei

g

sieht man im Schnitt (von

x = 0

nach

+ \infty

) eine sich immer schneller stauchende Kosinusfunktion, die Periode nimmt immer weiter ab:

{(x + 2 \cdot π)}^{2} = x^{2} + x \cdot 2 \cdot π + {(2 \cdot π)}^{2} = x^{2} + 2 \cdot π \cdot (x + 2 \cdot π) \to

Es gibt

[x + 2 \cdot π]

vollständige Perioden

([...] =

Gaußklammer für größte ganze Zahl) und eventuell noch eine "angebrochene" Periode im Intervall

[x; x + 2 \cdot π]

. Die gesuchten Niveaulinien sind die Kreise in der x-y-Ebene:

- 1 :

Alle Kreise mit Radius

\sqrt{π + k \cdot 2 \cdot π}

) für alle

k \in ℕ

0 :

Alle Kreise mit Radius

\sqrt{\frac{π}{2} + k \cdot π}

) für alle

k \in ℕ

1 :

Alle Kreise mit Radius

\sqrt{k \cdot 2 \cdot π}

für alle

k \in ℕ

2 :

keine Lösung!

Das

k

muß nur aus

ℕ

stammen, negative

k

werden durch den Kreis bei der Rotation mit "eingefangen", da die Funktionen symmetrisch zur y-Achse in jeder zur x-Ebene orthogonalen Schnittebene ist.

Kruemel-nk aktiv_icon

13:09 Uhr, 23.06.2008

wow.....ganz großer danke an dich

: D

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519913

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