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Schüler

Tags: Übergangsmatritzen

 
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Josua

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18:25 Uhr, 22.04.2017

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.... die ich mir auch selbst beantworten könnte, aber ich bin gerade mal wieder zu lazy zum rechnen. Hat jede Übergangsmatrix Fixvektoren? Oder anders herum gefragt, hat jemand ein Beispiel für eine Übergangsmatrix, außer in der Form von

0,7-0-0
0-0,7-0
0-0-0,7

die außer der trivialen Lösung keinen Fixvektor hat?
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mihisu

mihisu aktiv_icon

18:57 Uhr, 22.04.2017

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Jede Übergangsmatrix hat (nicht-triviale) Fixvektoren.

Begründung:

Für jede zeilenstochastische Matrix P und den Einsvektor v1=(1⋮1) gilt Pv1=v1=1⋅v1. Damit ist dann 1 Eigenwert von P.

Für jede spaltenstochastische Matrix P ist die transponierte Matrix PT zeilenstochastisch, so dass 1 ein Eigenwert von PT und damit auch von P ist.

Jede Übergangsmatrix ist nach Definition zeilenstochastisch oder spaltenstochastisch.

Da es also zu jeder Übergangsmatrix mindestens einen Eigenvektoren bzgl. dem Eigenwert 1 gibt, und die Eigenvektoren bzgl. dem Eigenwert 1 genau die (nicht-trivialen) Fixvektoren sind, gibt es zu jeder Übergangsmatrix mindestens einen (nicht-trivialen) Fixvektor.

\\\\

Die Matrix

(0,70000,70000,7)

ist keine Übergangsmatrix, da sie weder zeilenstochastisch noch spaltenstochastisch ist.
Dabei beziehe ich mich auf die folgende Definitionen, welche auch auf Wikipedia aufgeührt ist:

"Eine Übergangsmatrix ist eine quadratische Matrix, deren Zeilen- oder Spaltensummen Eins betragen und deren Elemente zwischen Null und Eins liegen."

"Eine Übergangsmatrix heißt zeilenstochastisch, wenn alle Einträge der Matrix zwischen 0 und 1 liegen und die Zeilensummen 1 ergeben."

"Eine Übergangsmatrix heißt spaltenstochastisch, wenn alle Einträge der Matrix zwischen 0 und 1 liegen und die Spaltensummen 1 ergeben."

Solltest du eine abweichende Definition verwenden, so bitte ich dich, diese anzugeben.
Josua

Josua aktiv_icon

19:09 Uhr, 22.04.2017

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Spaltensummen Eins gilt wohl nur für Stochastische Matrixen. Es gibt auch Übergangsmatrixen, die nicht den Spaltenwert 1 haben. Etwa:

von -K-J-A
zu K-0-0-0,7
zu J-0,5-0-0
zu A-0-0,6-0,79
Antwort
mihisu

mihisu aktiv_icon

19:51 Uhr, 22.04.2017

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Ok. Also wenn die Übergangsmatrix nicht stochastisch ist, kann es sein, dass es keinen nicht-trivialen Fixvektor gibt.

Beispielsweise hat die Martix
(0,50,20,10,20,10,50,10,50,2)
neben dem Nullvektor keinen weiteren Fixvektor.
Josua

Josua aktiv_icon

10:01 Uhr, 23.04.2017

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Hallo,

kann man bei deinem Beispiel sowas auf Anhieb erkennen?

Wie etwa bei:

0,7-0-0
0-0,7-0,2
0,2-0-0,7


In deinem Beispiel sind Zweilenvektoren und Spaltenvektoren wenn man die Koordinaten wegläßt identisch. Kann man daraus eine Regel herleiten?

Die Determinanten haben,wenn ich mich nicht verrechnet habe, in deinem Beispiel den Wert -0,104 und in meinem Beispiel 0,343. Sollte man damit nicht auch irgendwas anfangen können?

Und noch eine ungeprüfte Überlegung: Eine Matrix hat Fixvektoren, wenn die Zeilenvektoren komplanar sind

Edit: Überlegung scheint hier zu stimmen.

von A-B-C
zu A-0,7- 0,1– 0,1
zu B-0,2 –0,8 -0,3
zu C-0,1 –0,1 –0,6

Hier aber nicht:

0-0-0,7
0,6-0-0
0-0,75-0,685

Letzlich komme ich jetzt auf nichts anderes als auf die in der Schule vermittelten Lösungen. Aber das soll man da nicht was an der Determinante erkennen können?
Antwort
mihisu

mihisu aktiv_icon

15:01 Uhr, 23.04.2017

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"Eine Matrix hat Fixvektoren, wenn die Zeilenvektoren komplanar sind"

Das stimmt nicht.
(Bei deinen Beispielen sind die Zeilenvektoren übrigens nicht komplanar. Und beide Beispiele haben nicht-triviale Fixvektoren.)

"In deinem Beispiel sind Zweilenvektoren und Spaltenvektoren wenn man die Koordinaten wegläßt identisch. Kann man daraus eine Regel herleiten?"

Nein. Das ist eher Zufall.

\\\\

"Aber das soll man da nicht was an der Determinante erkennen können?"

Eine quadratische Matrix P hat genau dann nicht-triviale Fixvektoren, wenn det(P-E)=0 ist, wobei E die Einheitsmatrix ist.

\\\\

Beispiel 1:

(0,70,10,10,20,80,30,10,10,6) hat nicht-triviale Fixvektoren, beispielsweise den Vektor (0,250,550,2).

Es ist det(0,7-10,10,10,20,8-10,30,10,10,6-1)=...=0.

Beispiel 2:

(0,10,20,30,10,500,700,2) hat keinen nichttrivialen Fixvektor.

Es ist det(0,1-10,20,30,10,5-100,700,2-1)=...=-0,239≠0.

\\\\

Begründung:

Wenn v ein Fixvektor von P ist, so ist Pv=v.

Pv=v  ⇔Pv-v=0  ⇔  Pv-Ev=0  ⇔  (P-E)v=0

(P-E)v=0 ist bzgl. v ein homogenes lineares Gleichungssystem.

Wenn det(P-E)≠0 ist, ist das lineare Gleichungssystem (P-E)v=0 eindeutig lösbar, so dass v=0 die einzige Lösung ist. Es gibt dann also nur den trivialen Fixvektor v=0.

Wenn det(P-E)=0 ist, ist das lineare Gleichungssystem (P-E)v=0 nicht eindeutig lösbar und hat also mehrere Lösungen. Dann gibt es neben dem trivialen Fixvektor v=0 noch weitere Fixvektoren v≠0.

\\\\

Alternative Begründung, mit Eigenvektoren:

Wenn v ein nicht-trivialer Fixvektor von P ist, so ist Pv=v mit v≠0.
Nicht-triviale Fixvektoren sind also genau die Eigenvektoren von P zum Eigenwert 1.
Es gibt genau dann einen Eigenvektor von P zum Eigenwert 1, wenn 1 ein Eigenwert von P ist.
1 ist genau dann ein Eigenwert von P, wenn 1 Nullstelle des charakteristischen Polynoms χP(λ)=det(P-λE) ist, also wenn det(P-E)=0 ist.

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Folgende Assagen sind für eine quadratische Matrix P äquivalent:

1. P hat einen nicht-trivialen Fixvektor v.
2. det(P-E)=0, wobei E die Einheitsmatrix sei.
3. Die Zeilenvektoren von P-E sind nicht linear unabhängig.
4. Die Spaltenvektoren von P-E sind nicht linear unabhängig.
5. Das lineare Gleichungsystem (P-E)⋅v=0 bzgl. v ist nicht eindeutig lösbar.
6. 1 ist Eigenwert von P.
7. Es gibt einen Eigenvektor v von P zum Eigenwert 1.
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