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Noethersche Ringe

Universität / Fachhochschule

Ringe

Tags: Ring

Helpneeder

13:17 Uhr, 06.07.2017

Hallo miteinander,

ich befasse mich gerade mit noetherschen Ringen.
Definiert haben wir diese so:
Sei

R

ein Ring und I_0

\subset

I_1

\subset . .

. eine aufsteigende Kette von Idealen I_i

\leq R

mit

i \in ℕ

.
Wenn jede Kette stationär wird, nennt man

R

noethersch.
Stationär haben wir wie folgt definiert:

\exists k \in ℕ \forall j \in ℕ :

I_(k+j) = I_k

Wenn ich nun einen Beispiel für einen noetherschen Ring angeben soll, würde ich spontan mal auf den Nullring

R_{0} = ({0}, +, \cdot)

tippen.
Dann ist I

= R_{0}

das einzige Ideal von R.
Da es nur ein Ideal gibt, stimmen alle Ideale ab einem

k \in ℕ

überein.

\Rightarrow R_{0}

ist noethersch.

Oder habe ich da jetzt etwas komplett falsch gemacht?

Wenn ich nun versuchen wollen würde, zu zeigen, dass

R_{z} = (ℤ, +, \cdot)

ein noetherscher Ring ist, wie würde ich dann vorgehen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ermanus aktiv_icon

14:01 Uhr, 06.07.2017

Hallo,

dein Nullring ist in der Tat "extrem noethersch", so auch jeder Körper.
Um zu zeigen, dass

ℤ

noethersch ist, kannst du benutzen, dass

ℤ

ein Hauptidealring ist.

Gruß ermanus

Helpneeder

19:47 Uhr, 06.07.2017

Okay, also mal aufschreiben, was mir dazu einfällt:

R_{z} = (ℤ, +, \cdot)

ist ein Hauptidealring

\Rightarrow \forall i \in ℕ :

I_i kann nur von einem Element erzeugt werden.

\Rightarrow

Für

a \neq b

gilt also I_a

\neq

I_b (?)

Und daraus muss ich nun folgern:

\exists k \in ℕ \forall j \in ℕ :

I_(k+j) = I_k

Ist das soweit halbwegs richtig?
Wie es weitergehen könnte, weiß ich jetzt allerdings nicht.

ermanus aktiv_icon

21:40 Uhr, 06.07.2017

Für

ℤ

schreibe ich desweiteren

Z

, da das Schreiben sonst so mühselig ist.
Ist nun

I

ein Ideal in

Z

, so gibt es ein

a \in Z

mit

I = a Z

, da

Z

ein Hauptidealring
ist. Es gilt

a Z \subseteq b Z \overset{}{\Leftrightarrow} b ∣ a

, d.h. wenn

b

ein Teiler von

a

ist. Wegen

+ a Z = - a Z

können wir dabei immer davon ausgehen, dass

a, b, . . . \geq 0

sind.
Nun verwende die Tatsache, dass eine ganze Zahl

a > 0

nur eine endliche Teilerkette
besitzt oder anders ausgedrückt, dass jede absteigende Kette von Teilern
nach endlich vielen Schritten stationär wird, da sie spätestens ab dem Teiler

1

nichts mehr Neues liefert.

Zur Klarheit:

a_{1} Z \subseteq a_{2} Z \subseteq a_{3} Z \subseteq \dots

bedeutet

\dots a_{3} ∣ a_{2} ∣ a_{1}

Helpneeder

23:53 Uhr, 06.07.2017

Okay, danke, ich denke, jetzt habe ich es verstanden.
Darauf gekommen wäre ich allerdings nie.

Kannst du mir vielleicht noch ein Beispiel für einen nicht-noetherschen Ring zeigen (und vor allem, wie man widerlegt, dass es einer ist)?

ermanus aktiv_icon

13:38 Uhr, 07.07.2017

Der Ring aller reellen Folgen

(a_{n})

mit

(a_{n}) + (b_{n}) = (a_{n} + b_{n})

und

(a_{n}) (b_{n}) = (a_{n} b_{n})

ist ein nicht noetherscher Ring.
Betrachte die Ideale

I_{n} := {(a_{i}) ∣ a_{i} = 0

für

i \geq n} .

Man hat hier offenbar

I_{1} \subset I_{2} \subset I_{3} \subset . . .

Helpneeder

10:58 Uhr, 13.07.2017

okay, super, danke!

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