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Aufgabe:
Betrachten Sie das Intervall I=0,2] und für n∈ℕ die Funktion fn (t)=tn , t∈[0,1) und fn für t∈1,2]
Berechnen Sie ||fn||p für p∈1,∞], n∈ℕ
(ii) Zeigen Sie, dass (fn)n ⊂ eine Cauchy-Folge ist bzgl. der Norm ||•||p , p∈1,∞). Folgern Sie, dass bzgl. ||•||p , p∈1,∞) kein Banachraum ist.
(iii) Bzgl. der Norm ||•||∞ ist ein Banachraum (dies ist nicht zu zeigen). Warum ist die Folge (fn)n ⊂ hierfür kein Gegenbeispiel.
Problem/Ansatz:
Mit den Definitionen von Norm, Cauchy-Folge, usw. bin ich vertraut, jedoch weiß ich nicht wie ich dies anwenden soll.
Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hallo,
ist doch einfach eine Rechenaufgabe, das könntest du doch mal machen. Dann sehen wir weiter.
Gruß pwm
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Ok, erstmal sorry für die späte Antwort, mir ist etwas dazwischen gekommen. Ich bin mir relativ unsicher aber das erste was mir zur einfallen würde wäre:
||fn||p t∈0,1)
und
||fn||p t∈1,2]
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anonymous
14:53 Uhr, 03.07.2022
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Hallo Weizen8798,
Aufgabe:
Betrachten Sie das Intervall I=0,2] und für n∈ℕ die Funktion fn (t)=tn , t∈[0,1) und fn für t∈1,2]
Bitte überprüfe noch ein mal die Funktionenfolge . So wie du die Folge derzeit definierst, sind die nicht stetig auf Wenn ist, haben die eine Sprungstelle bei . Grüße
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Hm, klingt logisch, danke erstmal. Ich weiß aber nicht wie ich das ändern soll, weil dies doch die Definition für die p-Norm ist und sich an der 1 generell nichts ändert oder?
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anonymous
17:07 Uhr, 03.07.2022
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Kannst du vielleicht ein Photo der originalen Aufgabenstellung hochladen ?
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Klar.
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anonymous
18:06 Uhr, 03.07.2022
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Danke, jetzt verstehe ich die Aufgabe; die sind also auf durch definiert und 1 sonst.
Berechne Norm: Das ist hier die Norm, . du integrierst auf I und ziehst dann die p-te Wurzel.
Da bekomme ich dann heraus 1/(np+1))^(1/p)
Dann, um zu zeigen dass, eine Cauchy Folge ist bzgl. der Norm, betrachte für und berechne 1/(np+1) für festes . Das geht gegen 0 für gegen infinity.
Wenn ein Banachraum bzgl. dieser Normen wäre, müsste die Grenzfunktion der stetig sein. Die Grenzfunktion der bezgl. Norm ist aber die Funktion mit auf und auf . Diese liegt nicht in .
In iii) musst du jetzt noch zeigen, dass die keine Cauchyfolge bezgl. der Supremumsnorm bilden.
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Vielen Danke :-D). Ich versuche es dann mit diesen Tipps weiter.
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