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Norm, Cauchy-Folge und Banachraum

Universität / Fachhochschule

Algebraische Topologie

Tags: Algebraische Topologie, Banachraum, Cauchy Folge, Norm

 
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Weizen8798

Weizen8798 aktiv_icon

17:14 Uhr, 29.06.2022

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Aufgabe:

Betrachten Sie das Intervall I=[0,2] und für n∈ℕ die Funktion fn (t)=tn , t∈[0,1) und fn (t)=1 für t∈[1,2]

(i) Berechnen Sie ||fn||p für p∈[1,∞], n∈ℕ

(ii) Zeigen Sie, dass (fn)n ⊂ C(I) eine Cauchy-Folge ist bzgl. der Norm ||•||p , p∈[1,∞). Folgern Sie, dass C(I) bzgl. ||•||p , p∈[1,∞) kein Banachraum ist.

(iii) Bzgl. der Norm ||•||∞ ist C(I) ein Banachraum (dies ist nicht zu zeigen). Warum ist die Folge (fn)n ⊂ C(I) hierfür kein Gegenbeispiel.

Problem/Ansatz:

Mit den Definitionen von Norm, Cauchy-Folge, usw. bin ich vertraut, jedoch weiß ich nicht wie ich dies anwenden soll.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Antwort
pwmeyer

pwmeyer aktiv_icon

19:21 Uhr, 30.06.2022

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Hallo,

(i) ist doch einfach eine Rechenaufgabe, das könntest du doch mal machen. Dann sehen wir weiter.

Gruß pwm
Weizen8798

Weizen8798 aktiv_icon

11:32 Uhr, 03.07.2022

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Ok, erstmal sorry für die späte Antwort, mir ist etwas dazwischen gekommen.
Ich bin mir relativ unsicher aber das erste was mir zur (i) einfallen würde wäre:

||fn||p =(((t1)p)+((t2)p)+...+((tn)p))1p t∈[0,1)

und

||fn||p =1 t∈[1,2]

Antwort
Someone.

Someone.

14:53 Uhr, 03.07.2022

Antworten
Hallo Weizen8798,

Aufgabe:

Betrachten Sie das Intervall I=[0,2] und für n∈ℕ die Funktion fn (t)=tn , t∈[0,1) und fn (t)=1 für t∈[1,2]

Bitte überprüfe noch ein mal die Funktionenfolge fn. So wie du die Folge fn derzeit definierst, sind die fn nicht stetig auf [0,2]: Wenn n2 ist, haben die fn eine Sprungstelle bei t=1.
Grüße
Weizen8798

Weizen8798 aktiv_icon

16:22 Uhr, 03.07.2022

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Hm, klingt logisch, danke erstmal. Ich weiß aber nicht wie ich das ändern soll, weil dies doch die Definition für die p-Norm ist und sich an der 1 generell nichts ändert oder?
Antwort
Someone.

Someone.

17:07 Uhr, 03.07.2022

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Kannst du vielleicht ein Photo der originalen Aufgabenstellung hochladen ?
Weizen8798

Weizen8798 aktiv_icon

17:09 Uhr, 03.07.2022

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Klar.

Aufgabenstellung
Antwort
Someone.

Someone.

18:06 Uhr, 03.07.2022

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Danke, jetzt verstehe ich die Aufgabe; die fn sind also auf [0,1) durch fn(t)=tn definiert und 1 sonst.

Berechne p- Norm: Das ist hier die L-p Norm, d.h. du integrierst fnp auf I und ziehst dann die p-te Wurzel.

Da bekomme ich dann heraus ||fn||p=(1+ 1/(np+1))^(1/p)

Dann, um zu zeigen dass, fn eine Cauchy Folge ist bzgl. der L-p Norm, betrachte fn-fm für
0<m<n und berechne ||fn-fm||pp 1/(np+1) für festes p. Das geht gegen 0 für n gegen infinity.

Wenn C(I) ein Banachraum bzgl. dieser L-p Normen wäre, müsste die Grenzfunktion der fn stetig sein.
Die Grenzfunktion der fn bezgl. L-p Norm ist aber die Funktion f mit f(t)=0 auf [0,1) und f(t)=1 auf [1,2]. Diese liegt nicht in C(I).

In iii) musst du jetzt noch zeigen, dass die fn keine Cauchyfolge bezgl. der Supremumsnorm bilden.


Weizen8798

Weizen8798 aktiv_icon

18:46 Uhr, 03.07.2022

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Vielen Danke :-D). Ich versuche es dann mit diesen Tipps weiter.
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