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Norm, Cauchy-Folge und Banachraum
Universität / Fachhochschule
Algebraische Topologie
Tags: Algebraische Topologie, Banachraum, Cauchy Folge, Norm
 
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Aufgabe: Betrachten Sie das Intervall I=0,2] und für n∈ℕ die Funktion fn (t)=tn , t∈[0,1) und fn für t∈1,2] Berechnen Sie ||fn||p für p∈1,∞], n∈ℕ (ii) Zeigen Sie, dass (fn)n ⊂ eine Cauchy-Folge ist bzgl. der Norm ||•||p , p∈1,∞). Folgern Sie, dass bzgl. ||•||p , p∈1,∞) kein Banachraum ist. (iii) Bzgl. der Norm ||•||∞ ist ein Banachraum (dies ist nicht zu zeigen). Warum ist die Folge (fn)n ⊂ hierfür kein Gegenbeispiel. Problem/Ansatz: Mit den Definitionen von Norm, Cauchy-Folge, usw. bin ich vertraut, jedoch weiß ich nicht wie ich dies anwenden soll. Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hallo, ist doch einfach eine Rechenaufgabe, das könntest du doch mal machen. Dann sehen wir weiter. Gruß pwm |
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Ok, erstmal sorry für die späte Antwort, mir ist etwas dazwischen gekommen. Ich bin mir relativ unsicher aber das erste was mir zur einfallen würde wäre: ||fn||p t∈0,1) und ||fn||p t∈1,2] |
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Hallo Weizen8798, Aufgabe: Betrachten Sie das Intervall I=0,2] und für n∈ℕ die Funktion fn (t)=tn , t∈[0,1) und fn für t∈1,2] Bitte überprüfe noch ein mal die Funktionenfolge . So wie du die Folge derzeit definierst, sind die nicht stetig auf Wenn ist, haben die eine Sprungstelle bei . Grüße |
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Hm, klingt logisch, danke erstmal. Ich weiß aber nicht wie ich das ändern soll, weil dies doch die Definition für die p-Norm ist und sich an der 1 generell nichts ändert oder? |
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Kannst du vielleicht ein Photo der originalen Aufgabenstellung hochladen ? |
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Klar. |
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Danke, jetzt verstehe ich die Aufgabe; die sind also auf durch definiert und 1 sonst. Berechne Norm: Das ist hier die Norm, . du integrierst auf I und ziehst dann die p-te Wurzel. Da bekomme ich dann heraus 1/(np+1))^(1/p) Dann, um zu zeigen dass, eine Cauchy Folge ist bzgl. der Norm, betrachte für und berechne 1/(np+1) für festes . Das geht gegen 0 für gegen infinity. Wenn ein Banachraum bzgl. dieser Normen wäre, müsste die Grenzfunktion der stetig sein. Die Grenzfunktion der bezgl. Norm ist aber die Funktion mit auf und auf . Diese liegt nicht in . In iii) musst du jetzt noch zeigen, dass die keine Cauchyfolge bezgl. der Supremumsnorm bilden. |
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Vielen Danke :-D). Ich versuche es dann mit diesen Tipps weiter. |
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