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Norm der Projektion ist größer gleich 1

Universität / Fachhochschule

Lineare Abbildungen

Tags: Linear Abbildung, Projektion, Ungleichung

marryyy aktiv_icon

14:44 Uhr, 23.06.2018

Hallo,
mein Problem:

Sei

(X, | | . | |)

ein normierter Raum,

U

ein Teilraum von

X

mit

P : X \to U

Projektion auf U.
Beweise:

| | P | | \geq 1

Könnte mir jemand einen Hinweis geben welche Eigenschaften ich ausnutzen muss?
Ich weiß, dass

P

beschränkt ist also es gibt eine Zahl

c,

sodass ||Px||<=c||x|| ist. und dass, wenn ich

x

aus

U

wähle,

P (x) = x

ist. Wie komme ich dann weiter?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ermanus aktiv_icon

15:51 Uhr, 23.06.2018

Hallo,
es ist

P^{2} = P

. Da die Operatornorm submultiplikativ ist (

∣ ∣ A \circ B ∣ ∣ \leq ∣ ∣ A ∣ ∣ \cdot ∣ ∣ B ∣ ∣

),
gilt

∣ ∣ P ∣ ∣ = ∣ ∣ P \circ P ∣ ∣ \leq ∣ ∣ P ∣ ∣ \cdot ∣ ∣ P ∣ ∣

.
Im Falle

P \neq 0

folgt daraus

∣ ∣ P ∣ ∣ \geq 1

.
Gruß ermanus

marryyy aktiv_icon

17:05 Uhr, 23.06.2018

das wars schon? Danke jedenfalls :-D)

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