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Norm erfüllt nicht Paralleogramgleichung?

Universität / Fachhochschule

Skalarprodukte

Tags: Norm, Skalarprodukt

Eisteepfirsich aktiv_icon

18:14 Uhr, 10.11.2014

Ich habe folgende Aufgabe:
zz.: Norm

{| | . | |}_{1}

und die Norm

{| | . | |}_{\infty}

auf

ℝ^{n}

bzw.

C ((a, b), ℝ)

werden nicht durch ein Skalarprodukt erzeugt.

Mein Ansatz:
Beide Normen erfüllen nicht die Parallelogrammgleichung:

{| | v + w | |}^{2} + {| | v - w | |}^{2} = 2 ({| | v | |}^{2} + {| | w | |}^{2}) \forall v, w \in V

Also sind sie nicht vom Skalarprodukt induziert.

Aber wie beweise ich sowas?
Danke im vorraus!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Skalarprodukt

matheass14 aktiv_icon

22:49 Uhr, 10.11.2014

Erstmal zu der Einsnorm:

Wenn du zeigst, dass es Vektoren x,y z.B. im

ℝ^{3}

gibt für die diese Formel nicht gilt, hast du schon bewiesen, dass die Einsnorm nicht durch das SKP erzeugt werden kann.

∣ ∣ x + y ∣ ∣_{1}^{2} = (∣ x_{1} + y_{1} ∣ + ∣ x_{2} + y_{2} ∣ + ∣ x_{3} + y_{3} ∣)^{2}

∣ ∣ x - y ∣ ∣_{1}^{2} = (∣ x_{1} - y_{1} ∣ + ∣ x_{2} - y_{2} ∣ + ∣ x_{3} - y_{3} ∣)^{2}

2 (∣ ∣ x ∣ ∣_{1}^{2} + ∣ ∣ y ∣ ∣_{1}^{2}) = 2 [(∣ x_{1} ∣ + ∣ x_{2} ∣ + ∣ x_{3} ∣)^{2} + (∣ y_{1} ∣ + ∣ y_{2} ∣ + ∣ y_{3} ∣)^{2}]

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