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Norm induziert Parallelogrammidentität

Universität / Fachhochschule

Skalarprodukte

Tags: Parallelogrammidentität, Skalarprodukt

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12:12 Uhr, 27.04.2011

Zeigen Sie: Auf einem normierten Vektorraum V gibt es ein Skalarprodukt mit

$ ∣ ∣ v ∣ ∣ = \sqrt{〈 v, v 〉}

genau dann, wenn die Norm die Parallelogrammidentität erfüllt.

Bei der Rückrichtung habe ich Probleme...

\Leftarrow

Durch die Norm

∣ ∣ \cdot ∣ ∣

ist ein Skalarprodukt

〈, 〉

mit

∣ ∣ v ∣ ∣ = \sqrt{〈 v, v 〉}

definiert, wenn

〈, 〉

positiv definit und symmetrisch ist und Bilinearform hat. Seien

v, w \in V

. Wegen der Parallelogrammidentität ist:

∣ ∣ u + v ∣ ∣^{2} + ∣ ∣ u - v ∣ ∣^{2} = 2 (∣ ∣ u ∣ ∣^{2} + ∣ ∣ v ∣ ∣^{2})

\Rightarrow 〈 u, u 〉 + 〈 u, v 〉 + 〈 v, u 〉 + 〈 v, v 〉 + ∣ ∣ u - v ∣ ∣^{2} = 2 ∣ ∣ u ∣ ∣^{2} + 2 ∣ ∣ v ∣ ∣^{2}

\Rightarrow ∣ ∣ u ∣ ∣^{2} + 2 〈 u, v 〉 + ∣ ∣ v ∣ ∣^{2} + ∣ ∣ u - v ∣ ∣^{2} = 2 ∣ ∣ u ∣ ∣^{2} + 2 ∣ ∣ v ∣ ∣^{2}

\Rightarrow 2 〈 u, v 〉 = ∣ ∣ u ∣ ∣^{2} + ∣ ∣ v ∣ ∣^{2} - ∣ ∣ u - v ∣ ∣^{2}

\Rightarrow 〈 u, v 〉 = \frac{1}{2} (∣ ∣ u ∣ ∣^{2} + ∣ ∣ v ∣ ∣^{2} - ∣ ∣ u - v ∣ ∣^{2})

Ist das bis hier richtig?

Symmetrie und Definitheit ist klar, aber wie zeige ich, dass es Bilinearform hat?

Lg, Philips

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Skalarprodukt

Sina86

12:58 Uhr, 27.04.2011

Hi,

es reicht, wenn du es im vorderen Argument nachrechnest, also

< a x + b y, z > = a < x, z > + b < y, z >

(ums nachrechnen kommste leider nicht herum). Durch die Symmetrie ergibt sich dann die Bilinearität der Funktion...

...und kleine Manöverkritik: Zunächst gibt es keine Funktion, für die

∥ v ∥ = \sqrt{< v, v >}

gilt. Daher musst du diese, wenn du den Beweis formal aufschreibst, einfach definieren (so wie sie in der letzten Zeile deines Gleichungssystem steht) und dann zeigen, dass es ein Skalarprodukt ist.

Gruß
Sina

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23:02 Uhr, 28.04.2011

Vielen Dank,

hatte mir fast gedacht, dass ich da durch muss...

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