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"Norm von einem Skalarprodukt induziert" Bedeutung
Universität / Fachhochschule
Funktionalanalysis
Vektorräume
Tags: Funktionalanalysis, Hilbertraum, Parallelogramungleichung, Prähilbertraum, Vektorraum
 
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Die Frage mag etwas blöd klingen, aber da ich im Moment mit den Vorlesungen etwas hinterherhänge, ist mir das unklar. Was bedeutet es, bzw. was muss man zeigen, wenn man zeigen will, dass eine Norm von einem Skalarprodukt induziert wird. Außerdem habe ich gelesen, so ein Raum würde Prähilbertraum genannt werden. Was unterscheidet ihn von einem Hilbertraum? Generell ist mir das ganze Kapitel Banachräume etwas unklar, ich kann mir nicht vorstellen, wie man in einem Raum keine Norm definieren kann.. Ich hätte außerdem noch eine Frage zur bei uns definierten Darstellung der Ableitung bei partiell differenzierbaren Funktionen (Bild im Anhang) unklar ist mir hierbei das .  Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hi, wenn eine Norm die Parallelogrammungleichung erfüllt (bitte googlen), dann wird sie durch ein Skalarprodukt induziert. Es gibt Beispiele, wo das nicht der Fall ist (z.B. , also der Raum der absolut konvergierenden Folgen mit der 1-Norm). Ein Hilbertraum ist ein Pre-Hilbertraum, der zusätzlich noch vollständig ist, d.h. jede Cauchy-Folge konvergiert in ihm. Das ist eine wichtige Eigenschaft, wenn man analytische Beweise durchführen möchte. Bei Banach- und Hilberträumen ist die primäre Frage auch nicht unbedingt, OB es eine Norm gibt, sondern welche Norm verwendet wird und ob zu dieser Norm ein Skalarprodukt existiert (Hilberraum) bzw. ob der Vektorraum mit dieser Norm vollständig ist (das ist nämlich von der Norm abhängig). Es geht also weniger um die Existenz von Normen, als um die "gute Wahl" einer Norm. Bei deiner Ableitung ist das einfach ein Vektor . Man hätte hier auch einen Vektor schreiben können. Allerdings setzt man häufig den Verbindungsvektor zwischen dem betrachteten Vektor und einem beliebigen anderen Vektor ein, dabei definiert man dann häufig (deswegen wird dort nicht verwendet). Liebe Grüße Sina |
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Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
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