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Normalapproximation

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Verteilungsfunktionen

Wahrscheinlichkeitsmaß

Zufallsvariablen

Tags: Verteilungsfunktion, Wahrscheinlichkeitsmaß, Zufallsvariablen

birdbox

00:34 Uhr, 25.11.2017

Ein Hotelmanagement geht davon aus, dass 8% aller reservierten Zimmer nicht in Anspruch genommen werden und reserviert 28 Zimmer, obwohl nur 26 verfügbar sind. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese Überbuchung gut geht?
a) Genauer Wert.
b) Normalapproximation. (Verbessere das Ergebnis durch Stetigkeitskorrektur)
c) Wie viele Buchungen dürfen bei 46 vorhandenen Zimmern entgegengenommen werden, wenn die Wahrscheinlichkeit, dass Ausweichzimmer angemietet werden müssen, kleiner als 5% sein soll? (Verwende die Normalapproximation)

Okay, für a) würde ich sagen, dass wir das mit einer Binomialverteilung lösen und zwar ist dann

n = 28

und

p = 0.08

. Wir suchen

P (X \leq 26)

und das ist dasselbe wie

1 - P (X > 26) = 1 - P (X = 27) - P (X = 28)

, in die Formel einsetzen und dann komm ich auf

0.9999 . . .

b) Für die Normalapproximation setze ich

μ = n \cdot p = 2.24

und

σ = \sqrt{n p (1 - p)} = 1.43 \dot{5}

und

P (X \leq 26) = Φ (\frac{26 - μ}{σ}) = Φ (16.56)

.
Mir kommt der Wert in

Φ

extrem hoch vor, kann das passen? Falls ja, dann sollte es

1

sein, was ja schon mal recht nah an

0.9999 . . .

ist.
Die Stetigkeitskorrektur haben wir so definiert:

P (X \leq k) \approx P (Y \leq k + \frac{1}{2})

und das sollte man anwenden, wenn

n p (1 - p) < 9

. Wenn ich jetzt aber

k

erhöhe, bei uns also

26

, dann wird ja der Wert im

Φ

noch größer und eigtl noch ungenauer oder? Der Wert sollte ja kleiner werden, damit er näher an

0.9999 . . .

rankommt.

c) Puh, wie mach ich denn das??

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

anonymous

08:11 Uhr, 25.11.2017

Hallo
Bittschön, nur zu leicht ist was verwechselt.
Mach es dir selbst nicht unnötig schwer und mach dir klar:

"Okay, für

a)

würde ich sagen,

. .

. p=0.08."

p = 0.08

ist die Wahrscheinlichkeit wofür? Fass das mal in Worte!
Wenn du das hast, dann kannst du vielleicht auch nochmals überdenken und verbessern:
"...dann komm ich auf 0.9999..."

birdbox

14:51 Uhr, 25.11.2017

Hallo, danke für deine Antwort.
Ähm sollte p vielleicht 0.92 sein? Hmm für was ist des denn die Wahrscheinlichkeit? Die 8% sind ja Anteile der Zimmer die nicht in Anspruch genommen werden.

birdbox

18:52 Uhr, 25.11.2017

???

Roman-22

20:17 Uhr, 25.11.2017

>

Ähm sollte

p

vielleicht

0.92

sein?
Warum nicht? Solange du nicht sagst, welche Bedeutung dieses ominöse

p

für dich haben soll, kannst du dafür jeden beliebigen Wert einsetzen.

>

Hmm für was ist des denn die Wahrscheinlichkeit?
Genau diese Frage solltest du kreador beantworten!

>

Die

8 %

sind ja Anteile der Zimmer die nicht in Anspruch genommen werden.
Die Formulierung ist nicht korrekt. Es werden

8 %

der reservierten Zimmer nicht in Anspruch genommen.
Wenn du also von einer binomialverteilten Zufallsgröße

X

mit der Grundgesamtheit

n = 28

und der Wahrscheinlichkeit

p = 0,08

(für welches Ereignis?) ausgehst, was genau berechnest du also zB mit

P (X = 27)

? Für welches Ereignis wäre das die Wahrscheinlichkeit des Eintretens?

birdbox

20:32 Uhr, 25.11.2017

P(X=27) wäre dass genau 27 Zimmer überbucht werden? Also macht das keinen Sinn und ich suche sowas wie P(X<=1), also das höchstens 1 Zimmer überbucht werden kann?

Ich versteh die Aufgabenstellung nicht wirklich :(

anonymous

21:16 Uhr, 25.11.2017

"P(X=27) wäre(,) dass genau

27

Zimmer überbucht werden"
Nein, auch das nicht. Bei

26

Zimmern und

28

Reservierungen können höchstens 2 Überbuchungen auftreten.

Du merkst, es geht einfach darum, den Überblick zu bewahren und sich selbst in klaren Worten verständlich zu machen, von was man spricht.

Ich helfe dir mal:

Wie die Aufgabe schon sagt:

p = 0.08

ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Reservierung nicht wahr genommen wird.

Das ist gleich bedeutend, wie:

q = 0.92 = 1 - p

ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Reservierung in Anspruch genommen wird, also dass die betreffende Person auch kommt und ein Zimmer belegt.

Es ist sehr dringend zu vermuten, dass du genau diese beiden verwechselt hast. Und genau aus dem Grund hatte ich (und nicht nur ich) dich aufgefordert, nicht nur irgend ein

p = 0.08

hinzuschreiben,
sondern auch IN WORTE zu fassen, was du darunter verstehst.

- - - - - - - - - - - - - - -

So, ich ahne, jetzt raucht erst mal der Kopf.
Deshalb helfe ich dir noch ein wenig weiter.

Die Aufgabe war:
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese Überbuchung gut geht?

Dass die Überbuchung gut geht, das heißt doch, dass mindestens 2 Personen, die reserviert hatten, fern bleiben, und ihre Reservierung nicht wahr nehmen.
Jetzt nehmen wir die

p = 0.08

machen uns klar, dass das die Wahrscheinlichkeit ist, dass eine Reservierung nicht wahr genommen wird,
und schauen,
wie wahrscheinlich es ist, dass dies auf

2, 3, 4 . .

. (kurz mindestens

2)

Reservierungen zutrifft.

ODER:
Ganz genau so gut können wir das Gegenereignis betrachten.
Es ist GLEICHBEDEUTEND:

Dass die Überbuchung gut, geht, das heißt doch genauso gut, dass höchstens

26

der Personen, die reserviert hatten, tatsächlich kommen, und ein Zimmer belegen.
Jetzt nehmen wir die

q = 0.92

machen uns klar, dass das die Wahrscheinlichkeit ist, dass eine Reservierung wahr genommen wird,
und schauen,
wie wahrscheinlich es ist, dass dies auf

0, 1, ..., 25, 26

(kurz höchstens

26)

Reservierungen zutrifft.

Zwei Möglichkeiten! Wenn du mal beide durch exerzierst, wirst du schnell sehen, dass die beiden mathematisch formal genau gleich berechnet werden - und folglich natürlich auf beiden Wegen das Gleiche raus kommt.
(aber natürlich nicht

0.9999 ...)

:-)
Viel Spaß!

birdbox

10:50 Uhr, 26.11.2017

Vielen, vielen Dank für deine ausführliche Erklärung! Mit p=0.92 tue ich mir wesentlich leichter und ist auch logischer für mich. Somit komme ich nun auf 66.74%, das schaut ja schon mal ganz gut aus und das mit der Stetigkeitskorrektur haut auch hin.

Jetzt fehlt nur noch c)
Da weiß ich nicht mal wie ich ansetzen muss, hier suche ich aber wieviele Buchungen entgegengenommen werden dürfen. Und es sind diesmal 46 anstatt 26 Zimmer vorhanden. Außerdem soll die Wahrscheinlichkeit, dass man Überbuchungen hat < 0.05 sein.
Eventuell benötige ich hier die Umkehrfunktion?

anonymous

11:05 Uhr, 26.11.2017

Hallo
Lieber birdbox! Mach dir doch selbst den Gefallen und merke:
Nutze nicht nur Buchstaben, Zahlen und Gewirr!
Sondern nutze ganze Sätze!!!

Du schreibst:
"Somit komme ich nun auf 66.74%"
Unsinn!!

66.74 %

für WAS?

Nochmals nutze ganze Sätze und erkläre, was du mit diesen Zahlen glaubst errechnet zu haben. Dann kannst du verstehen, dann können wir verstehen oder korrigierend beratschlagend eingreifen...

anonymous

11:12 Uhr, 26.11.2017

Sorry - ich merke eben, ich habe vielleicht ein wenig überreagiert!

Das lag daran, dass ich eine Zahl im Kopf hatte:
zu

p = 33.26 %

kommt es zu Überbuchungen.

Ja, du hast Recht.
Die Aufgabenfrage lautete: Wie groß ist die

p,

dass diese Überbuchung gut geht?.
Und dafür stimmen natürlich deine
zu

p = 66.74 %

geht es gut,

d . h

. kommt es zu keinen Überbuchungen.

anonymous

11:23 Uhr, 26.11.2017

c)

Überleg mal:

>

Wenn nur

46

Reservierungen entgegengenommen werden, dann kann nichts schief gehen.

D . h

. die Wahrscheinlichkeit, dass Auweichzimmer angemietet werden müssen, ist:

p = 0

>

Wenn

47

Reservierungen entgegen genommen werden, dann,...
ja das ist der selbe Gedankengang, wie bei

a),

nur neue Zahlen.
Es wird unwahrscheinlich sein, dass das schief geht.
Aber es könnte schief gehen.
Rechne einfach mal die Wahrscheinlichkeit dafür aus...

>

Wenn

48

Reservierungen entgegen genommen werden, dann...

>

Wenn

49

Reservierungen entgegen genommen werden, dann...

>

zusammenfassend:
Du siehst, das ist jetzt ein Gedankenspiel:
Die Wahrscheinlichkeit, dass es schief geht und zu Überbuchungen kommt, ist abhängig von der Anzahl an Reservierungen, die entgegen genommen werden.
Und du musst eben die Anzahl suchen, die eben die Aufgabe erfüllt.

>

Umkehrfunktion
Ja, ganz recht. Prinzipiell handelt es sich um eine Umkehrfunktion nach eben dieser Anzahl an Reservierungen.
Nicht ganz ausgeschlossen, dass das einige Taschenrechner sogar auf die ein oder andere Weise bieten. Aber dazu kenne ich deinen Taschenrechner zu wenig.
Ich empfehle auf jeden Fall erst mal den ausführlich, Verständnis-weckenden, schriftlichen Lösungsweg.
Die Taschenrechner-Lösung kannst du dann immer noch...

birdbox

13:20 Uhr, 26.11.2017

Okay, also ist mein

p

wieder

0.92

... die Wahrscheinlichkeit, dass eine Reservierung wahrgenommen wird.
Und mein

n

erhöhe ich bis ich kurz vor 5% bin.

Also

P (X \leq 46)

wäre dann die Wahrscheinlichkeit das höchstens 46 Personen reservieren. Und dann wäre

P (X > 46)

die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 46 Personen reservieren. Das wäre dann ja auch die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ausweichzimmer angemietet werden muss, richtig?

Also:

n = 47

, dann

P (X > 46) = 1.98 %

n = 48

, dann

P (X > 46) = 9.45 %

Kann das sein? Also damit die Wahrscheinlichkeit unter 5% bleibt, darf ich nur 47 Buchungen entgegennehmen? Kommt mir irgendwie unrealistisch vor. Also habs jetzt erstmal mit Binomialverteilung anstatt Normalapproximation ausgerechnet, aber das sollte ja nur minimal was ändern.

birdbox

21:43 Uhr, 26.11.2017

????

anonymous

22:23 Uhr, 26.11.2017

Ich ahne, was du meinst. Aber du drückst dich leider noch fälschlich unpräzise aus.

Unter

P (x \leq 46)

willst du vermutlich die Wahrscheinlichkeit dafür verstehen, dass höchstens

46

Personen ihre Reservierung wahr machen und ein Zimmer belegen.

Und dann wäre

P (x > 46)

die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als

46

Personen ihre Reservierung wahr machen und ein Zimmer belegen.

Korrekt:
für

n = 47

Reservierungen gilt:

P (x > 46) = 1.99 %

(wenn auch ein klein wenig falsch gerundet)
für

n = 48

Reservierungen gilt:

P (x > 46) = 9.45 %

Ja, das kann sein, und das habe ich auch so raus.
Und ich finde das gar nicht unrealistisch.
Bedenke: Bei

47

Reservierungen und typischerweise

92 %

Wahrmachenden ist doch schon typischerweise mit

43.24

Wahrmachenden zu rechnen.
Da kann es schon mal vorkommen, dass tatsächlich auch alle

47

kommen und ein Zimmer belegen.

birdbox

22:47 Uhr, 26.11.2017

Super, vielen Dank für deine Hilfe!!

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