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Normalapproximation und binomial Verteilung

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Erwartungswert

Verteilungsfunktionen

Wahrscheinlichkeitsmaß

Zufallsvariablen

Tags: Erwartungswert, Verteilungsfunktion, Wahrscheinlichkeitsmaß, Zufallsvariablen

Rosali-9 aktiv_icon

10:51 Uhr, 05.12.2019

Es sei

B

eine Bin(n,0.9)-verteilte Zufallsvariable. Was ist das maximalen, für welchesdie Wahrscheinlichkeit, dass

B

den Wert

100

überschreitet, noch unter

0.025

bleibt? BeantwortenSie die Frage
ii) durch Auffinden des maximalenn, für welches n·0.9

+

1.96√(n·0.9·0.1)<100

+ 12

gilt.
iii) Wie kommt das Rezept in ii) mittels der Normalapproximation der Binomialverteilung zustande? Eine Skizze ist hilfreich.

b)

Es sei bekannt, dass jede einzelne bis zum Tag

x

angenommene Buchung eines Fluges mit Wahrscheinlichkeit

0.1

nach dem Tag

x

storniert wird. Wieviele Buchungen dürfen für diesen Flug bis zum Tag

x

höchstens angenommen werden, wenn bei

100

Plätzen im Flugzeug alle gebuchten Passagiere mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens

0.975

Platz finden sollen?

Aufgabe ii habe ich bereits gelöst mittels der Mitternachtsformel und bin auf die Ergebnisse

x 1 = 105,564

und

x 2 = 118,037

gekommen. Bzw. zur Lösung der Aufgabe wäre dann

x 2

die korrekte Lösung.
Wie ich bei den anderen beiden Aufgaben jedoch vorgehen soll weiß ich nicht. Ich bin für jede Hilfe dankbar!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

pivot aktiv_icon

11:40 Uhr, 05.12.2019

Hallo,

die Ungleichung sieht wohl eher so aus:

n \cdot 0.9 + 1.96 \cdot \sqrt{n \cdot 0.9 \cdot 0.1} < 100 + 0.5

Da B eine discrete Zufallsvariable ist gilt:

P (X \geq 101) = 1 - P (X \leq 100)

. Jetzt kann man die Binomialverteilung mit Hilfe der Normalverteilung approximieren. Hier wurde auch die Stetigkeitskorektur

0.5

verwendet.

1 - P (X \leq 100) \approx 1 - Φ (\frac{100 + 0.5 - μ}{\sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)}})

1 - Φ (\frac{100 + 0.5 - 0.9 \cdot n}{\sqrt{n \cdot 0.9 \cdot 0.1}}) < 0.025

- 0.025

und

+ Φ (\frac{100 + 0.5 - 0.9 \cdot n}{\sqrt{n \cdot 0.9 \cdot 0.1}})

0.975 < Φ (\frac{100 + 0.5 - 0.9 \cdot n}{\sqrt{n \cdot 0.9 \cdot 0.1}})

Umkehrfunktion der Standardnormalverteilung

Φ^{- 1} (0.975) = 1.96

Φ^{- 1} (0.975) < \frac{100 + 0.5 - 0.9 \cdot n}{\sqrt{n \cdot 0.9 \cdot 0.1}}

1.96 < \frac{100 + 0.5 - 0.9 \cdot n}{\sqrt{n \cdot 0.9 \cdot 0.1}}

usw.

Gruß

pivot

Rosali-9 aktiv_icon

11:45 Uhr, 05.12.2019

Hallo pivot,

danke schon mal für deine Antwort!
Auf welche Aufgabe beziehst du dich denn hierbei? Auf den Teil iii)?

pivot aktiv_icon

11:58 Uhr, 05.12.2019

Ja, Teil iii). Des Weiteren habe ich ein anderes Ergebnis heraus.

1. Es kommt nur ein Ergebnis heraus als Obergrenze. Du hast während du

n

ermittelt hast bestimmt quadriert. Richtig. Quadrieren ist aber keine Äquivalenzumformung. Man muss dann am Ende der Rechnung noch die Probe machen um zu ermitteln welche der beiden Werte die Ungleichung erfüllt.

2. Des Weiteren sagt der Rechner dass

n \leq 104.973 \Rightarrow n^{*} = 104

www.wolframalpha.com/input/?i=+n*0.9+%2B+1.96*sqrt%28n*0.9*0.1%29%3C100%2B0.5

Die Adresse muss als ganzes in die Adresszeile kopiert werden.

Rosali-9 aktiv_icon

12:03 Uhr, 05.12.2019

Stimmt! Danke!
Die Formeln die du verwendet hast sind so auch in meinem Skript! Vielen vielen Dank!
Falls dir auch noch etwas zu

b

einfällt kannst du ja nochmal Bescheid geben!
Ich bin wirklich begeistert!

pivot aktiv_icon

12:24 Uhr, 05.12.2019

Freut mich, dass bis jetzt alles klar ist. Bei der b) ist die Ungleichung

P (X \leq 100) \geq 0.975

X ist die binomialverteilte Zufallsvariable

B i n (n, 0.9)

, welche die Anzahl der nicht stonierten Buchungen angibt.

Jetzt muss man die obige Ungleichung wieder in eine baugleiche Ungleichung umwandeln wie bei der vorherigen Aufgabe.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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