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Normalbereich?

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integration, Normalbereich

simplyme aktiv_icon

14:01 Uhr, 05.11.2018

Guten Tag,
ich bräuchte Ihre Hilfe bei dieser Aufgabe.

Gegeben ist das Dreieck

D = (0,0), (2,2), (0,1)

a .)

ist

D

ein Normalbereich in x-Richtung? Wenn ja mit welchen Grenzen?

b .)

Ist

D

ein Normalbereich in y-Richtung? Wenn ja mit welchen Grenzen?

d .)

Bestimmen Sie

\int_{(x, y) \in D} f (x, y) \cdot d (x, y)

für

f (x, y) = {(x + y)}^{2}

.
Verwenden Sie hierbei beide möglichen Integrationsreihenfolgen und vergleichen Sie die Ergebnisse.

Also zur a und

b,

ich verstehe nicht ganz wie man Normalbereiche erkennt.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pwmeyer aktiv_icon

17:37 Uhr, 05.11.2018

Hallo,

Du suchst ein Intervall

[a, b]

und Funktionen

p, q,

so dass

(x, y) \in D \Leftrightarrow x \in [a, b]

und

p (x) \leq y \leq q (x)

D . h

. Du schaust Dir eine Skizze von

D

an und schaust, in welchem Bereich

y

läuft, wenn Du ein bestimmmtes

x

betrachtest. Dieser Bereich definiert Dir die Untergrenze

p (x)

und die Opbergrnze

q (x)

.

Gruß pwm

simplyme aktiv_icon

18:31 Uhr, 05.11.2018

Also mein Intervall

[a, b]

ist

[0,2],

weil

x

die Werte zwischen 0 und 2 annimmt oder? Und

y

nimmt die werte zwischen 0 und 2 an. Also ist dann meine Untergrenze

p (x) = 0

und

q (x) = 2

oder nicht? Meinten Sie das mit dem Bereich?

pwmeyer aktiv_icon

11:12 Uhr, 06.11.2018

Hallo,

wenn Du

p

und

q

so wählst bedeutet das:

(x, y) \in D \Leftrightarrow x \in [0,2]

und

0 \leq y \leq 2

Das würde zum Beispiel von dem Punkt

(1, \frac{1}{2})

erfüllt. Liegt dieser Punkt im Dreieck D?

Hast Du Dir schon ein Skizze von

D

gemacht??

Gruß pwm

simplyme aktiv_icon

13:05 Uhr, 06.11.2018

Ja ich hab mir das Dreieck gezeichnet. Und der Punkt

(1, \frac{1}{2})

liegt nicht im Dreieck. Was muss ich jetzt machen? Wie bekomme ich die Grenzen heraus?

simplyme aktiv_icon

13:15 Uhr, 06.11.2018

Ah ich hab jetzt einen neuen Ansatz:

x \in (0,2)

und

x \leq y \leq (\frac{1}{2} x + 1)

. Stimmt das so?

simplyme aktiv_icon

18:00 Uhr, 06.11.2018

Also ich hab für die

a .)

y \in [1,2]

und

2 y - 2 \leq x \leq y

Und für die

b .)

x \in [0,2]

und

x \leq y \leq (\frac{1}{2}) x + 1

Kann mir jemand vielleicht sagen ob es stimmt?

pwmeyer aktiv_icon

18:55 Uhr, 06.11.2018

Hallo,

b)

beschreibt die Menge

D

richtig

a)

jedoch nicht, zum Beispiel liegt der PUnkt

(0,0)

in der Menge

D,

wird aber durch Deine Beschreibung nicht erfasst. Tatsächlich beschreibst Du nur einen Teil von D.

Man muss hier eine Fallunterscheidung machen:

y \in [0,1] ... . \leq x \leq . .

y \in [1,2]

und

2 \cdot y - 2 \leq x \leq y

Gruß pwm

simplyme aktiv_icon

19:44 Uhr, 06.11.2018

Also für

y \in [0,1] \to 0 \leq x \leq y

für

y \in [1,2] \to 2 y - 2 \leq x \leq y

Und da die ober und untergrenze im Intervall

[0,2]

ist, sieht meine Lösung jetzt so aus:

B : y \in [0,2]

und

2 y - 2 \leq x \leq y

Stimmt das so?

pwmeyer aktiv_icon

11:50 Uhr, 07.11.2018

Hallo,

nein, Du kannst die beiden Angaben nicht zusammenfassen.

Mach Dir doch mal eine Skizze von dem Bereich, den Du zuletzt angegeben hast. Es würde dort zum Beispiel der Punkt(-2,0) dazugehören.

Gruß pwm

simplyme aktiv_icon

15:03 Uhr, 07.11.2018

Also wie meinen Sie das, hab ich dann 2 Mengen raus. Also einmal