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Normalbereich berechnen

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integration, Normalbereich

shiroxx aktiv_icon

13:45 Uhr, 01.02.2020

Guten Tag,

Nochmal eine Aufgabe zum Normalbereich:
Es sei

B \subset R^{2}

der Bereich im 1. Quadranten, der begrenzt wird von den beiden Kreisen

x^{2} + y^{2} = 1, x^{2} + y^{2} = 9,

und den beiden Geraden

y = \frac{1}{3} \sqrt{3} \cdot x

und

y = \sqrt{3} \cdot x

Berechne das Integral

\int \int_{B}

arctan

\frac{y}{x} d (x, y)

Jetzt hab ich das ganze einmal zeichnen lassen und die Schnittpunkte berechnet und es in zwei Flächen

B 1

und

B 2

geteilt, damit ich es als Normalbereich bzgl

y

rechnen kann, hoffe das ist soweit richtig.
Also

P 1 : (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}) P 2 : (\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}) P 3 (\frac{3}{2}, \sqrt{3} \cdot \frac{3}{2})

und

P 4 : (\sqrt{3} \cdot \frac{3}{2}, \frac{3}{2})

Hätte dann als Grenzen für

B 1 = \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} \int_{\frac{1}{\sqrt{3} \cdot x}}^{\sqrt{3} \cdot x}

arctan

\frac{y}{x} d y d x

und

B 2 = \int_{\frac{3}{2}}^{\frac{\sqrt{3} \cdot 3}{2}} \int_{\frac{1}{\sqrt{3} \cdot x}}^{\sqrt{9 - x^{2}}}

arctan

\frac{y}{x} d y d x

Irgendwie scheint mir das aber nicht so ganz simple zu lösen zu sein
Wäre das prinzipiell so richtig? Und kann man das eventuell durch eine Tranfo. leichter lösen?

Vielen Dank im Vorraus!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pwmeyer aktiv_icon

16:08 Uhr, 01.02.2020

Hallo,

dieses Beispiel ruft nach Polarkoordinaten.

Gruß pwm

shiroxx aktiv_icon

18:05 Uhr, 01.02.2020

Oh, also setzt ich

{(x, y)}^{T} = {(r \cdot cos (φ), r \cdot sin (φ))}^{T}

Und dann Integriere ich über arctan

((r \cdot \frac{sin (φ)}{r \cdot cos (φ)})) =

arctan(

tan (φ)) = φ

?

Was mach ich denn dann mit meinen Grenzen?

Schon mal Vielen Dank!

pwmeyer aktiv_icon

12:04 Uhr, 02.02.2020

Hallo,

die Grenzen ergeben sich doch direkt aus Deiner Skizze aus der geometrischen Bedeutung von

r

und

φ

.

Gruß pwm

shiroxx aktiv_icon

12:29 Uhr, 02.02.2020

Das stimmt, hab sie jetzt auch also einfach die Radien der Kreise und Winkel der Geraden. Dankeschön

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