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Normalbereiche

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Integration

Tags: Doppelintegral, Integration, Normalbereich

shiroxx aktiv_icon

23:32 Uhr, 23.01.2020

Guten Abend,

Ich habe noch so meine Probleme mit dem Normalbereich, vor allem wenn ich diesen bzgl

y

und

x

aufstellen soll.

Es geht um folgende Fläche: A im ersten Quadranten berandet durch

y = x^{2}, y = 4 x^{2}

und

y = 4

Jetzt fällt es mir schon schwer zu sagen, warum ich diese Fläche in zwei aufteilen muss, ich denke hier werden die zwei Flächen durch die Senkrechte

x = 1

getrennt oder?
Also hab ich dies mal für die untere Fläche

A 1

gerechnet also für einen Normalbereich bzgl

y

und

x

leider kommt bei beiden was unterschiedliches raus
Bzgl

y

hätte ich folgendes:

\int_{0}^{1} \int_{x^{2}}^{4 x^{2}} d y d x

und bzgl

x

\int_{0}^{4} \int_{\frac{1}{2} (\sqrt{y})}^{\sqrt{y}} d x d y

Vielleicht könnt ihr mir ja helfen

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pwmeyer aktiv_icon

12:22 Uhr, 24.01.2020

Hallo,

Normalbereich heißt ja: Ich kann meine Fläche oder ein Flächenstück so darstellen: Für

x

gebe ich ein festes (zahlenmäßig bestimmtes) Intervall an und für

y

ein Intervall, dessen Grenzen von

x

abhängen dürfen.

Oder umgekehrt, die Rollen von

x

und

y

vertauscht.

In Deinem Beispiel liegt die Fläche über dem Intervall

x \in [0,2]

(Du hast hoffentlich eine Skizze gemacht). Die untere Grenze für

y

ist

y = x^{2},

aber die obere Grenze ist nicht einheitlich. Für

x \in [0,1]

ist die obere Grenze

4 \cdot x^{2}

und für

x \in [1,2]

ist die obere Grenze

y = 4

. Also wäre das Integral

\int_{0}^{1} (\int_{x^{2}}^{4 \cdot x^{2}} d y) d x + \int_{1}^{2} (\int_{x^{2}}^{4} d y) d x

Für die umgekehrte Reihenfolge besteht dieses Problem nicht, das hast Du richtig angesetzt.

Gruß pwm

shiroxx aktiv_icon

17:37 Uhr, 24.01.2020

Ah, jetzt habe ich es verstanden, ja ich hatte auch eine Skizze, dachte auch ich hätte sie beigefügt, jetzt habe ich auch verstanden, warum ich es aufteilen muss, ich denke ich übe es nochmal an einem komplexeren Bsp und melde mich.

Hab jetzt bei beiden auch

\frac{8}{3}

raus.

Danke

ledum aktiv_icon

23:40 Uhr, 25.01.2020

bitte abhaken, wenn erledigt
ledum

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