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Normalbereiche und Iterierte Integrale

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integration

Opaque

19:06 Uhr, 10.02.2019

Hallo,
ich habe gerade eine Aufgabe gelöst, bin mir aber nicht sicher ob es richtig ist.

Die Aufgabe:

Berechnen sie

\int_{D}

xd(x,y,z)

für das Tetraeder

D = {(x, y, z) \in ℝ^{3} : x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0, x + y + z \leq 1}

An sich ist die Aufgabe einfach, jedoch weis ich nicht ob meine Normalbereiche richtig sind.

Ich habe jetzt so gerechnet, das ich

x \in [0,1], y \in [0,1 - x]

und

z \in [0,1 - x - y]

genommen habe.

Somit habe ich die Integration

\int_{0}^{1} \int_{0}^{1 - x} \int_{0}^{1 - x - y} x d z d y d x

das

x

habe ich dann vor gezogen zu

\int_{0}^{1} x \int_{0}^{1 - x} \int_{0}^{1 - x - y} 1 d z d y d x

Die erste Integration war dann

\int_{0}^{1} x \int_{0}^{1 - x} 1 - x - y d y d x

Die zweite Integration:

\int_{0}^{1} x [{(1 - x)}^{2} - \frac{{(1 - x)}^{2}}{2}] d x

Verinfacht:

\frac{1}{2} \int_{0}^{1} x^{3} - 2 x^{2} + x d x = \frac{1}{2} {[\frac{x^{4}}{4} - 2 \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2}]}_{0}^{1} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + 1

Ich nehme an das die Rechnung an sich stimmt, aber ich weis nicht ob die Intervalle/Normalbereiche die ich gewählt habe so richtig sind.
Hoffe mir kann da jemand helfen :-)
Vielen dank schonmal.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pwmeyer aktiv_icon

09:53 Uhr, 11.02.2019

Hallo,

sieht alles richtig aus - obwohl man bei den Zahlen nie ganz sicher sein kann ;-)

Gruß pwm

Opaque

16:29 Uhr, 12.02.2019

Ok Dankeschön.

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