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Normale Körpererweiterung, wenn Zerfällungskörper

Universität / Fachhochschule

Körper

Polynome

Tags: Algebra, Galois, Körper, MATH, Mathematik, polynom

 
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anonymous

anonymous

16:12 Uhr, 09.01.2022

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Hallo!

Eine Körpererweiterung K⊆L heißt normal, falls für jedes irreduzible f∈K[X] gilt:

Hat f eine Nullstelle in L, so zerfällt f über L in Linearfaktoren.

Sei K Körper und f∈K[X],grad(f)≥1. Ein Erweiterungskörper heißt Zerfällungskörper von f über K, falls

1.)f zerfällt in L[X] in Linearfaktoren

2.)L wird von den Nullstellen ni von f erzeugt, also L=K(n1,...,ngrad(f)).

Meine Frage:

Sei ℚ⊆ℚ(a) mit a∈ℂ\ℚ eine normale Körpererweiterung. Warum reicht es, um zu beweisen, dass diese Erweiterung normal ist, zu zeigen, dass ℚ(a) der Zerfällungskörper von dem Minimalpolynom ma,ℚ(X)∈ℚ[X] von a ist.

Irgendwie scheint mir das nicht logisch. In anderen Worten heißt es ja dann:

Wenn ma,ℚ(X)∈ℚ[X] über ℚ(a) in Linearfaktoren zerfällt, so zerfallen auch alle anderen irreduziblen Polynome aus ℚ[X] mit Nullstellen in ℚ(a) vollständig über ℚ(a).

Also wenn f∈ℚ[X] eine Nullstelle in ℚ(a) hat so folgt, dass auch alle anderen Nullstellen von f In ℚ(a) enthalten sind.

Ich sehe da irgendwie keinen Zusammenhang... Meine Vermutung ist, dass es daran liegt, dass der Zerfällungskörper ℚ(a) eben von den Nullstellen des Minimalpolynoms erzeugt wird, aber ich finde auch da keinen Zusammenhang...

Danke und LG

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michaL

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16:46 Uhr, 09.01.2022

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Hallo,

können wir uns erst einmal auf endliche Erweiterungen beschränken? (Sonst wird es wohl ein bisschen schwieriger.)

Gemeint ist: Die endliche algebraische Erweiterung L:K ist normal. ⇔ Es gibt ein Polynom p∈K[x], sodass L der Zerfällungskörper Z(p,K) von p über K ist.

"⇒": ist wohl nicht deine Frage.

Habt ihr zu "⇐" und Charakterisierung normaler Körpererweiterungen schon algebraische Abschlüsse und K-Algebrenhomomorphismen besprochen?

Wenn ja: Dann kann man was schustern, dass bei Zerfällungskörpern eben diese Homomorphismen Elemente aus L wieder auf Elemente aus L abbilden.

Mfg Michael
Frage beantwortet
anonymous

anonymous

17:33 Uhr, 09.01.2022

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Hallo! Ich dachte ich hätte die Frage schon geschlossen... Trotzdem danke für die Antwort! Ich habe eine Charakterisierung in der Vorlesung, welche ein bisschen anders formuliert ist und ich habe zunächst nicht verstanden, dass es das gleiche bedeutet:

Seien K,L Körper und K⊆L⊆K¯, wobei K¯ algebraischer Abschluss von K. Es sind äquivalent:

i)K⊆L normal

ii) Es gibt eine Teilmenge F⊂K[X]\K, so dass L der kleinste Teilkörper von K¯ ist, so dass jedes f∈F über L in Linearfaktoren zerfällt

iii) Für jeden K-Homomorphismus φ:L→K¯ gilt φ(L)=L.

Nutzt man nun ii) und ist F einelementig, so wird daraus:

K⊆L normal ⇔L ist Zerfällungskörper eines (irreduziblen?) Polynoms aus K[X]\K.

Zum Beispiel ℚ⊆ℚ(24,i) ist normal, da ℚ(24,i) der Zerfällungskörper von X4-2∈ℚ[X] ist.

Ich wusste von dem Kriterium, habe aber irgendwie anfangs keinerlei Zusammenhang zu "Zerfällungskörpern" gesehen.