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Normalenform und Koordinatenform

Schüler Gesamtschule, 12. Klassenstufe

Tags: eben, Koordinatengleichung, Normalenform

x3Babyx3 aktiv_icon

15:08 Uhr, 06.03.2011

Hallo, ich bräuchte Hilfe bei einer Aufgabe, da ich leider nicht weiß, wie ich hierbei vorgehen muss. Wäre nett, wenn mir jemand helfen könnte, da ich diese Aufgabe vortragen muss.

Eine Ebene E geht durch den Punkt P (6/8/2) und hat n (1/3/-5) als einen Normalenvektor. Bestimmen sie für E eine Ebenengleichnung in Normalenform und eine Koordinatengleichung.

Bestimmen sie den Abstand d des Punktes A(6/3/6) von der Ebene E.

Vielen Dank schon mal im vorraus.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ebenen in Normalenform

Abiturientin2011 aktiv_icon

15:21 Uhr, 06.03.2011

Wie du schon sagtest, musst du die Ebenengleichung in Normelenform aufstellen.
Die Normalenform einer Ebene lautet :

$E : (\vec{x} - \vec{a}) \circ \vec{η} = 0 \vec{a} i s t i n d i e s e m F a l l d e r O r t s v e k t o r d e r E b e n e .$

Als Ortsvektor benutzt du einfach den Punkt P.

Im Folgenden musst du den Abstand berechnen. Das tust du mit der HNF.

Die lautet:

$E : (\vec{x} - \vec{a}) \circ η_{o = d} η_{o} i s t d e r N o r m a l e n - E i n h e i t s v e k t o r d e r E b e n e .$

d ist der Abstand.

Bei x setzt du jetzt einfach den Punkt ein, dessen Abstand zur Ebene gesucht ist.

Ebenengleichung umformen in die Koordinatenform. Die Koordinatenform lautet:

Ich habe dir nur die Lösungsschritte gegeben, weil ich der Meinung bin, dass du das auch selber rechnen kannst. So schwer ist das nun auch nicht. Ich finde es frech, dass einige nur die Aufgabe im Mathe-Forum reinstellen und nur eine konkrete Lösung haben wollen ohne überhaupt einen Lösungs-Ansatz mitzuteilen. Du musst diese Formeln schon in der Schule kennen gelernt haben.

DerMatze aktiv_icon

15:23 Uhr, 06.03.2011

P (6 | 8 | 2)

und hat

n (1 | 3 | - 5)

Die Ebene in Normalenform besteht ja aus folgendem Term:

E : (\vec{x} - \vec{a}) \cdot \vec{n} = 0

Benutze den Punkt als

\vec{a}

und setz den

\vec{n}

ein.

Edit: das Tippen dauert hier zu lang :-)

x3Babyx3 aktiv_icon

20:14 Uhr, 06.03.2011

Also wäre dann die Normalenform: (1/3/-5) x (6/8/2)=0 oder kann ich das auch noch zusammenfassen ?

michael777 aktiv_icon

20:21 Uhr, 06.03.2011

Normalenform:

[\vec{x} - (\begin{matrix} 6 \\ 8 \\ 2 \end{matrix})] \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 3 \\ - 5 \end{matrix}) = 0

Koordinatenform:

x_{1} + 3 x_{2} - 5 x_{3} - 20 = 0

x3Babyx3 aktiv_icon

20:23 Uhr, 06.03.2011

Vielen dank, aber wo kommt das x- davor her ?!
Und bei der KOF kann ich doch die -20 auch auf die andere Seite holen oder ?!

Abiturientin2011 aktiv_icon

20:23 Uhr, 06.03.2011

nicht das MAL zeichen sondern skarlar... ?!

michael777 aktiv_icon

20:25 Uhr, 06.03.2011

der Vektor

\vec{x}

gehört zur Normalenform (das haben die anderen beiden oben schon ausführlich beschrieben)

\vec{x}

kann durch

(\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix})

ersetzt werden

die Vektordifferenz wird dann mit dem Normalenvektor skalar multipliziert, das Ergebnis ist die Koordinatenform,

- 20

auf der linken Seite kann auch als

20

auf der rechten Seite der Koordinatengleichung geschrieben werden

x3Babyx3 aktiv_icon

20:44 Uhr, 06.03.2011

Danke, das habe ich jetzt verstanden :-)

Aber bei dem Abstand haben wir das nicht so gemacht, mit dieser Formel, sondern wir haben auf der KOF eine NF gemacht und somit dann den Abstand berechnet, aber wir mache ich das, wenn ich nur diesen einen Pubkt (6/3/6) habe ?! Muss ich dann diese Formel nehmen ?!

michael777 aktiv_icon

20:46 Uhr, 06.03.2011

die Abstandsberechnung erfolgt mit der Hesse-Normalform,
die Koordinatengleichung wird normiert (also durch den Betrag des Normalenvektors dividiert) und dann der Punkt eingesetzt

d = | \frac{6 + 3 \cdot 3 - 5 \cdot 6 - 20}{\sqrt{1^{2} + 3^{2} + 5^{2}}} |

Abiturientin2011 aktiv_icon

17:56 Uhr, 07.03.2011

Ich habe dir die Hessesche Normalenform aufgeschrieben und erklärt, wie du denn nun den Abstand herauskriegst. Ich verstehe dein Problem nicht.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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