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Normalengleichung einer Ebene bestimmen

Schüler Gymnasium,

Tags: Analytische Geometrie, eben

anonymous

17:59 Uhr, 24.05.2016

Servus an alle Mitglieder,

gegeben ist folgende Aufgabe:

,,Gegeben sind zwei schneidende Geraden

g_{1}

und

g_{2}

, die daher beide in einer Ebene

E

liegen. Bestimmen Sie eine Normalengleichung dieser Ebene.

g_{1} : \vec{x} = (\begin{array}{rcl} 1 \\ - 10 \\ 1 \end{array}) + r (\begin{array}{rcl} 2 \\ 5 \\ 1 \end{array})

g_{2} : \vec{x} = (\begin{array}{rcl} 6 \\ - 3 \\ - 5 \end{array}) + s (\begin{array}{rcl} - 1 \\ 3 \\ 8 \end{array})

"

Ansatz: Über Kreuzprodukt der zwei Richtungsvektoren von den zwei Geraden bekomme ich
einen möglichen Normalenvektor raus.

Nun suche ich mir einen beliebigen Vektor von den zwei Geraden als Stützvektor aus, z. B.

(\begin{array}{rcl} 1 \\ - 10 \\ 1 \end{array})

.

Wäre das so richtig? :-)

Viele Grüße
NeymarJunior

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Roman-22

18:04 Uhr, 24.05.2016

>

Ansatz: Über Kreuzprodukt der zwei Richtungsvektoren von den zwei Geraden bekomme ich
einen möglichen Normalenvektor raus.
Richtig!
Du suchst übrigens nicht die "Normalengleichung" der Ebene sondern die Normalform der Ebenengleichung.

>

Nun suche ich mir einen beliebigen Vektor von den zwei Geraden als Stützvektor aus
Du meinst das Richtige. Besser: Du wählst den Ortsvektor eines beliebigen Punkts auf einer der beiden Geraden als Stützvektor der Ebene, ZB den gegebenen Stützpunkt der Geraden

g_{1}

.

Jetzt wäre aber dann doch noch zu prüfen, ob

g_{1}

und

g_{2}

einander tatsächlich schneiden. ZB indem man den Stützpunkt von

g_{2}

in die eben gewonnene Ebenengleichung einsetzt. Man erkennt, dass die beiden Geraden tatsächlich komplanar sind.
Die Angabe ist daher überbestimmt. Man sollte zB die z-Koordinate

- 5

des Stützpunkts von

g_{2}

gar nicht angeben.

R

anonymous

18:21 Uhr, 24.05.2016

Hallo Roman-22,

danke für die schnelle Antwort!! Ich habe noch kurze Nachfragen. ;-)

1.) Warum würdest du überprüfen, ob es einen Schnittpunkt zwischen

g_{1}

und

g_{2}

gibt,
wenn es in der Aufgabenstellung steht? :-)

2.) Ich bin bisher davon ausgegangen, dass 3 Vektoren komplanar sein können,
man davon aber nicht bei zwei Geraden spricht, die sich schneiden ...

3.) Warum würdest du z.B. die

z -

Koordinate des Stützpunktes von

g_{2}

auslassen?
Denn wenn ich dann untersuchen will, ob die zwei Geraden sich schneiden, dann müsste ich
am Ende sagen: für

z = . . .

geht es, sonst nicht. Ach so, wahrscheinlich willst du es
ein bisschen ,,spannender" machen, oder? :-)

Roman-22

19:17 Uhr, 24.05.2016

>

Warum würdest du überprüfen, ob es einen Schnittpunkt zwischen

g 1

und

g 2

gibt,
wenn es in der Aufgabenstellung steht? :-)
Weil ich einer überbestimmten Aufgabenstellung nie trauen würde.

>

Ich bin bisher davon ausgegangen, dass 3 Vektoren komplanar sein können,
man davon aber nicht bei zwei Geraden spricht, die sich schneiden

. .

.
komplanar bedeutet nur "in einer Ebene liegend". Das trifft bei schneidenden Geraden zu. Streng genommen kann ein Vektor gar nicht IN einer Ebene liegen, da ein Vektor keine spezielle festzumachende Lage im Raum hat. Er hat eine Richtung, eine Orientierung und einen Betrag. Das, was man in einer Ebene zeichnen kann ist bestenfalls einer von unendlich vielen Repräsentanten dieses Vektors.
So gesehen ist die Formulierung, dass zwei Vektoren eine Ebene aufspannen ebenso falsch (wir benötigen schließlich noch einen Stützpunkt) wie die Formulierung, dass drei Vektoren in einer Ebene liegen. "komplanar" bedeutet bezogen auf drei Vektoren etwas anderes, nämlich, dass sie linear abhängig sind.
Man stellt sich aber gerade in der Schulmathematik einen Vektor gerne als einen speziellen "Pfeil" vor, der ganz konkret irgendwo im Raum herumliegt, zB in einer Ebene. Bei Bedarf verschiebt man diesen Pfeil aber beliebig parallel mit der Begründung, dass man das eben darf, weils ja nur ein Vektor ist. Na ja.

>

Warum würdest du

z . B

. die z-Koordinate des Stützpunktes von

g 2

auslassen?
Eben weil sie überflüssig ist und überbestimmte Angaben eine böse Fehlerquelle darstellen. Wenn die beiden Geraden einander schneiden sollen, kann man diese z-Koordinate aus den restlichen Angaben errechnen, also sollte man das auch machen und sich nicht darauf verlassen, dass der Angabeersteller das schon richtig gemacht haben wird. Daher auch mein Hinweis darauf, wenigstens am Ende zu prüfen, ob die Angabe stimmig ist.
Mit "spannender machen" hat das gar nichts zu tun.

R

anonymous

19:55 Uhr, 24.05.2016

Okay, alles klar!! :-)

Könntest du mir noch bitte bei der nachfolgenden Aufgabe helfen? :-)

,,Gegeben ist die Ebene

E : [\vec{x} - (\begin{array}{rcl} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array})] \cdot (\begin{array}{rcl} 2 \\ - 3 \\ 4 \end{array}) = 0 .

a) Gesucht sind zwei sich schneidende Geraden, die in der Ebene

E

liegen.

b) Gesucht sind zwei echt parallele Geraden, die in

E

liegen."

Ansatz ad a):

Ich habe sowohl zwei Richtungsvektoren als auch zwei Stützvektoren bestimmt.

Richtungsvektor1:

(\begin{array}{rcl} 3 \\ 2 \\ 0 \end{array})

Richtungsvektor2:

(\begin{array}{rcl} 0 \\ 4 \\ 3 \end{array})

Stützvektor1:

(\begin{array}{rcl} 0 \\ 6 \\ 7 \end{array})

Stützvektor2:

(\begin{array}{rcl} 11 \\ - 4 \\ 0 \end{array})

Wäre es jetzt egel, ob ich Richt.vkt.1 mit Stützvekt.2 kombiniere? Oder Richt.vkt.1 mit Stützvekt.1?

Danke im Voraus!

Roman-22

20:08 Uhr, 24.05.2016

Der zweite Stützvektor ist falsch, dort sollte es

+ 4

lauten.
Und ja, du könntest beliebig einen Richt- mit einem Stützvektor kombinieren.
Aber warum machst du dir überhaupt die Arbeit mit den Stützvektoren. Verwende doch für beide Geraden den gegebenen Stützvektor

{(1 0 2)}^{T}

.

Nur für die beiden Parallelen benötigst du einen zweiten Stützvektor und musst auch noch sicher stellen, dass sich der zugehörige Punkt nicht auf der ersten Geraden befindet. Denn "echt" parallel soll wohl bedeuten, dass parallel im Abstand Null (also identische Geraden) nicht zählt.

R

anonymous

21:12 Uhr, 24.05.2016

Da hast du natürlich recht, für a) brauche ich mir keine neuen Stützvektoren zu generieren...
Guter Tipp! :-)

Ich hätte noch eine (kleine) Aufgabe ... Tut mir leid, dich am Abend zu stören,
aber sie lässt mich nicht mehr los. VIELEN VIELEN DANK für deine Hilfe, Roman-22. ;-)

,,

E

enthält die

z -

Achse, den Punkt

P (1 ∣ 1 ∣ 0)

und steht senkrecht auf der

x - y -

Ebene.
Stellen Sie die Normalenform der Ebene auf. "

Ich habe zwei Ansätze.

1.) Den Punkt

P

verwende ich als Stützpunkt. Da die Ebene senkrecht zur

x - y -

Ebene
stehen soll, müssen die Normalenvektoren der zwei Ebenen orthogonal zueinander sein.

Ergo:

(\begin{array}{rcl} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}) \cdot (\begin{array}{rcl} x \\ y \\ z \end{array}) = 0

Das gilt für z. B.

(\begin{array}{rcl} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array})

.

Damit hätte ich einen Normalenvektor von

E

als auch einen Stützvektor.

2.) Könnte man auch so argumentieren:

E

enthält die

z -

Achse, damit auch die Punkte

Q (0 ∣ 0 ∣ 4)

und

R (0 ∣ 0 ∣ 1)

.
Mit

P

habe ich drei Punkte gegeben. Erst einmal stelle ich die vektorielle Parameterform auf
und dann die Normalenform.

Bei dieser Aufgabe habe ich mich gefragt, ob es nicht zu viele Angaben sind. Was meinst du?
:-)

Ansonsten noch einen schönen Abend.

Roman-22

21:27 Uhr, 24.05.2016

>

Damit hätte ich einen Normalenvektor von

E

als auch einen Stützvektor.
falsch,

(\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

steht wohl normal zur z-Achsenrichtung, aber nicht normal zu

E

Dein zweiter Ansatz ist zwar aufwändig, würde aber funktionieren.

Da die Ebene normal zur xy-Ebene ist, muss ihr Normalvektor parallel zur xy-Ebene sein. Seine z-Komponente ist daher 0.
Außerdem ist

\vec{O P} = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

ein Richtungsvektor der Ebene (sowohl

O,

als auch

P

liegen in

E)

. Ein Normalvektor dazu mit z-Komponente 0 ist doch mit

(\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 0 \end{matrix})

schnell gefunden.

>

Bei dieser Aufgabe habe ich mich gefragt, ob es nicht zu viele Angaben sind.
Natürlich. Wenn eine Ebene die z-Achse enthält, dann steht sie immer senkrecht zur Grundrißebene

π_{1}

(x-y-Ebene). Das müsste man nicht extra hervorheben. Eine solche Lage einer Ebene nennt man auch erstprojizierend. Die Normalprojektion auf

π_{1}

ist die Gerade

y = x

und das ist auch schon die gesuchte Ebenengleichung. Umgestellt also

E : x - y = 0

Alle Punkte dieser Ebene haben die Eigenschaft, dass ihre

x -

und y-Koordinaten übereinstimmen, die z-Koordinate ist beliebig.

R

P . S . :

Für weitere Aufgaben einen neuen Thread beginnen, sonst wirds zu unübersichtlich.

anonymous

18:01 Uhr, 25.05.2016

Hallo Roman-22,

ich komme leider erst jetzt dazu, dir zu antworten.

>

falsch,

(\begin{array}{rcl} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array})

steht wohl normal zur

z

-Achsenrichtung, aber nicht normal zu

E

Tut mir leid, das kann ich nicht ganz nachvollziehen.
Die gesuchte Ebene

E

soll orthogonal
zur

x - y -

Ebene sein (lauf Aufgabe). Müssen die Normalenvektoren der zwei Ebenen dann nicht
orthogonal zueinander sein?

Und du hast einen Richtugnsvektor der gesuchten Ebene

E

angegeben, nämlich

\vec{O P}

.
Warum kann man dann vom Richtungsvektor von

E

ausgehend einen Normalenvektor von

E

(mithilfe des Skalarproduktes) folgern?

Viele Grüße
NeymarJunior

Femat aktiv_icon

19:43 Uhr, 25.05.2016

Da Roman offensichtlich gerade nicht online ist, probier ich es mal.

Müssen die Normalenvektoren der zwei Ebenen dann nicht
orthogonal zueinander sein?

Natürlich sind

n

und

v

orthagonal

Und du hast einen Richtugnsvektor der gesuchten Ebene

E

angegeben, nämlich OP⃗
.
Warum kann man dann vom Richtungsvektor von

E

ausgehend einen Normalenvektor von

E

(mithilfe des Skalarproduktes) folgern?

Das ist doch etwa das Prinzip der Normalenform der Ebenengleichung.
Ein Vektor in der Ebene

(X - P)

mal skalar dem Normalenvektor

= 0 \Rightarrow

senkrecht

anonymous

20:13 Uhr, 25.05.2016

Hallo Femat,

danke für deine Antwort und die Zeichnung!! :-)

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