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Normalengleichung einer Ebenenschar

Schüler Gymnasium,

Tags: Analytische Geometrie, Ebenengleichung, Ebenenschar, Normalengleichung, Vektor

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02:58 Uhr, 14.10.2014

Guten Morgen !

Während der Bearbeitung einer Übungsaufgabe für meine bevorstehende Prüfung bin ich auf eine kleine Schwierigkeit gestoßen:

Ich habe die Ebene

E_{u} : \vec{x} = (0; 2; 5) + r (1; 0; 0) + s (0; u; 1 - u^{2})

gegeben und muss eine Normalengleichung (mithilfe von Gleichungssystemen) bestimmen. Das Kreuzprodukt darf ich allenfalls benutzen, um mein Ergebnis zu überprüfen.

Während der Umformung der Gleichungssysteme (um an die Koordinaten des Normalenvektors zu kommen) setzte ich für den

x 3

Wert "1" ein und kam schlussendlich auf den Normalenvektor

(0; u - 1; 1)

.
Mithilfe des Kreuzproduktes kam ich jedoch auf den Normalenvektor

(0; - 1 - u^{2}; u)

.
Mir ist klar dass dies dadurch zustande kam, da ich beim lösen der Gleichungssysteme für den

x_{3}

Wert "1" statt "u" genommen habe.

Meine Frage: Wäre es falsch mit dem ersten Normalenvektor die Normalengleichung aufzustellen? Und ist man bei Ebenenscharen gezwungen für die

x_{1}, x_{2}

bzw

x_{3}

Koordinate immer die jeweilige Variable der Ebenenschar

(

in diesem Fall "u" ) einzusetzen ?

Anmerkung : das ";" soll verdeutlichen dass die jeweiligen Koordinaten untereinander stehen. Der Experten-Modus war mir als Neuling ein wenig zu Umständlich.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ebenen in Normalenform
Ebenen in Parameterform
Parallelverschiebung
Rechnen mit Vektoren - Einführung
Rechnen mit Vektoren - Fortgeschritten
Skalarprodukt

Bummerang

08:35 Uhr, 14.10.2014

Hallo,

"Wäre es falsch mit dem ersten Normalenvektor die Normalengleichung aufzustellen?"

Natürlich kann man mit jedem Normalenvektor die Normalengleichung aufstellen. Voraussetzung ist nur, dass es auch ein Normalenvektor ist. Der von Dir errechnete Vektor ist aber nicht orthogonal auf dem zweiten Vektor und somit kein Normalenvektor der Ebene!

"Und ist man bei Ebenenscharen gezwungen für die

x_{1}, x_{2}

bzw

x_{3}

Koordinate immer die jeweilige Variable der Ebenenschar

(

in diesem Fall "u" ) einzusetzen ? "

Man darf alles tun, was zur Auffindung eines Normalenvektors dient, nur sich verrechnen, so wie Du, das darf man nicht!

Und auch Dein mittels Kreuzprodukt errechneter Vektor ist nicht orthogonal auf dem zweiten Vektor und deshalb auch kein Normalenvektor der Ebene.

Fazit: Mathematisch bis hierher alles

O . K .,

aber Rechnen musst Du etwas konzentrierter!

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13:33 Uhr, 14.10.2014

Hallo,
Danke für ihre Antwort. Es kann durchaus sein, dass ich beim Rechnen ein wenig unkonzentriert war, leider kann ich meinen Fehler nicht finden. Hier meine Rechenwege:

Geg:

E_{u} : \vec{x} = (\binom{\binom{0}{2}}{5}) + r (\binom{\binom{1}{0}}{0}) + s (\binom{\binom{0}{u}}{1 - u^{2}})

Die Bedingung für einen Normalenvektor ist, dass sowohl

\vec{n} * (\binom{\binom{1}{0}}{0}) = 0

als auch

\vec{n} * (\binom{\binom{0}{u}}{1 - u^{2}}) = 0

ist.
Daraus ergeben sich folgende Gleichungen:

x_{1} = 0

u x_{2} + (1 - u^{2}) x_{3} = 0

In meinem weiteren vorgehen setzte ich für

x_{3}

den Wert

1

ein also

x_{3} = 1

.
Daraus ergbit sich:

u x_{2} + (1 - u^{2}) = 0

.
Umgeformt nach

x_{2}

ergab sich bei mir (hier bin ich leider ein wenig unsicher):

x_{2} = \frac{- (1 - u^{2})}{u}

also

x_{2} = - 1 + u = u - 1

So bin ich letztendlich auf den Normalenvektor

\vec{n} = (\binom{\binom{0}{u - 1}}{1})

gekommen.
Dann überprüfte ich mein Ergebnis indem ich den Normalenvektor erneut, jedoch diesmal mit dem Kreuzprodukt ausrechnete:

(\begin{array}{rcl} a_{2} * b_{3} - & a_{3} * b_{2} \\ a_{3} * b_{1} - & a_{1} * b_{3} \\ a_{1} * b_{2} - & a_{2} * b_{1} \end{array}) = (\begin{array}{rcl} 0 * (1 - u^{2}) - & 0 * u \\ 0 * 0 - & 1 * (1 - u^{2}) \\ 1 * u - & 0 * 0 \end{array}) = (\begin{array}{rcl} 0 - & 0 \\ 0 - & (1 - u^{2}) \\ u - & 0 \end{array}) = (\begin{array}{rcl} 0 \\ - (1 - u^{2}) \\ u \end{array})

Dadurch kamen die zwei unterschiedlichen Ergebnisse zustande. Ich schätze bei beiden Wegen ist mir ein Fehler unterlaufen. Ich wäre dankbar wenn mir jemand sagen könnte wo mein Fehler liegt und wie ich das mithilfe von Gleichungssystemen (1. Rechenweg) zu lösen habe. Ich habe im Allgemeinen keine Probleme mit Gleichungssystemen, meistens nur wenn es um Scharen geht.

MfG
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Bummerang

14:57 Uhr, 14.10.2014

Hallo,

wenn ich

x_{2} = \frac{- (1 - u^{2})}{u}

habe, erhalte ich

x_{2} = - \frac{1}{u} + u

und bei mir ist

- (1 - u^{2}) = - 1 + u^{2}

. So ist der Normalenvektor aus dem Kreuzprodukt das u-fache des Normalenvektors aus dem Gleichungssystem!

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15:13 Uhr, 14.10.2014

Hallo Bummerang,

ist es nun egal welchen Normalenvektor ich für die folgende Normalengleichung von

E_{u}

nutze, oder ist es im Sinne der Aufgabe "richtiger" mit dem Normalenvektor, welcher sich aus dem Kreuzprodukt ergibt, weiterzuarbeiten ?

Bummerang

18:59 Uhr, 14.10.2014

Hallo,

"ist es nun egal welchen Normalenvektor ich für die folgende Normalengleichung von Eu nutze"

Hier gilt wie immer: Wer lesen kann ist klar im Vorteil! Siehe meinen ersten Post: "Natürlich kann man mit jedem Normalenvektor die Normalengleichung aufstellen. Voraussetzung ist nur, dass es auch ein Normalenvektor ist."

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