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Normalenvektor

Universität / Fachhochschule

Tags: Normalenvektor

lufti23 aktiv_icon

00:32 Uhr, 19.02.2022

Hallo,

ich habe den Körper

g (x, y) = x^{2} + y^{2}

gegeben. Für eine Aufgabe würde ich gerne den Normalenvektor in Abhängigkeit von

x, y, z

bestimmen. Im angehängten Bild habe ich in rot 2 mal verdeutlicht was ich meine. Wie komme ich an eine Gleichung dir mir den Normalenvektor an diesem Körper in Abhängigkeit der Koordinaten gibt?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ebenen in Normalenform

Respon

02:46 Uhr, 19.02.2022

g (x, y) = x^{2} + y^{2}

Tangentialebene im Punkt

P (x_{0} | y_{0} | g (x_{0}, y_{0}))

t (x, y) = g (x_{0}, y_{0}) + g_{x} (x_{0}, y_{0}) \cdot (x - x_{0}) + g_{y} (x_{0}, y_{0}) \cdot (y - y_{0})

\Rightarrow

t (x, y) = x_{0}^{2} + y_{0}^{2} + 2 \cdot x_{0} \cdot (x - x_{0}) + 2 \cdot y_{0} \cdot (y - y_{0})

t (x, y) = 2 \cdot x_{0} \cdot x + 2 \cdot y_{0} \cdot y - (x_{0}^{2} + y_{0}^{2})

\Rightarrow

\vec{n} = (\begin{matrix} 2 \cdot x_{0} \\ 2 \cdot y_{0} \\ - 1 \end{matrix})

Kartoffelchipsman aktiv_icon

03:03 Uhr, 19.02.2022

Die Fläche ist wohl ein elliptisches Paraboloid gemäß der Abbildung

R^{2} \to R^{3}, (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) \mapsto (\begin{matrix} x \\ y \\ x^{2} + y^{2} \end{matrix})

.

Die flutscht besser als

R \times [0,2 \cdot π) \to R^{3}, (\begin{matrix} r \\ φ \end{matrix}) \mapsto (\begin{matrix} cos (φ) \cdot r \\ sin (φ) \cdot r \\ r^{2} \end{matrix})

Schöne Tangentialvektoren sind dann

(\begin{matrix} cos (φ) \\ sin (φ) \\ 2 \cdot r \end{matrix}) = (\begin{matrix} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} \\ \frac{y}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} \\ 2 \cdot \sqrt{x^{2} + y^{2}} \end{matrix})

und dazu orthogonale Normalenvektoren

(\begin{matrix} cos (φ) \cdot 2 \cdot r \\ sin (φ) \cdot 2 \cdot r \\ - 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \cdot x \\ 2 \cdot y \\ - 1 \end{matrix})

Kartoffelchipsman aktiv_icon

04:24 Uhr, 19.02.2022

Bei dieser Fläche kann man sich das ja
noch mehr oder weniger zurechtfriemeln,

z . B .,

indem man mit einer simplen Parabel
in der

x, z -

Ebene arbeitet und das Resultat
dann um die

z -

Achse rotiert.

Hier nun etwas formaler gemäß Satz

3 . b),

Paragraph 9 "Untermannigfaltigkeiten" aus Otto Forsters "Analysis 2".

Sei

ρ := {(x, y, z) \in R^{3} : z = x^{2} + y^{2}},

f : R^{3} \to R, (x, y, z) \mapsto x^{2} + y^{2} - z

.

Dann ist

ρ

eine zweidimensionale Untermannigfaltigkeit von

R^{3}

und es gilt

ρ = {(x, y, z) \in R^{3} : f (x, y, z) = 0}

.

Daher ist

(g r a d f) (x, y, x^{2} + y^{2}) = (2 \cdot x, 2 \cdot y, - 1)

eine Basis von

N_{(x, y, x^{2} + y^{2})} (ρ)

.

Auf Deutsch:

λ \cdot (2 \cdot x, 2 \cdot y, - 1)

mit

λ \in R

sind die Normalenvektoren von

ρ

im Punkt

(x, y, x^{2} + y^{2})

lufti23 aktiv_icon

12:50 Uhr, 19.02.2022

Vielen Dank!

Eine Frage hätte ich noch, wieso ist mein 3. Eintrag unabhängig von

x_{0}

und

y_{0}

Mathe45

13:14 Uhr, 19.02.2022

" Eine Frage hätte ich noch, wieso ist mein 3. Eintrag unabhängig von

x_{0}

und

y_{0}

?"

Gehe nochmals den einfachen und kurzen Rechenweg von " Respon " durch - dann erkennst du es warum.

Kartoffelchipsman aktiv_icon

14:48 Uhr, 19.02.2022

Einfache elementargeometrische Konstruktion
mit Nutzung der Rotationssymmetrie:

(\begin{matrix} x = cos (φ) \cdot r \\ y = sin (φ) \cdot r \\ z = x^{2} + y^{2} = r^{2} \end{matrix})

ist für

φ = 0

dann

(\begin{matrix} r \\ 0 \\ r^{2} \end{matrix})

.

Ableiten gibt die Tangente in der

x, z -

Ebene

(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 2 \cdot r \end{matrix})

.

Die in der

x, z -

Ebene um

90

Grad rechtsrum drehen gibt die Normale

(\begin{matrix} 2 \cdot r \\ 0 \\ - 1 \end{matrix})

.

Die Drehung um die z-Achse wieder einbauen
(sie war wegen

cos (0) = 1, sin (0) = 0

eigentlich nie weg) gibt

(\begin{matrix} cos (φ) \cdot 2 \cdot r \\ sin (φ) \cdot 2 \cdot r \\ - 1 \end{matrix})

= (\begin{matrix} 2 \cdot x \\ 2 \cdot y \\ - 1 \end{matrix})

Mathe45

21:47 Uhr, 19.02.2022

Hat eine Ebenengleichung die Form

a \cdot x + b \cdot y + c \cdot z = d

dann ist

\vec{n} = (\begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix})

ein möglicher Normalenvektor.
Die Gleichung der Tangentialebene im Punkt

(x_{0} | y_{0} | g (x_{0}, y_{0}))

war ( siehe weiter oben )

z = 2 \cdot x_{0} \cdot x + 2 \cdot y_{0} \cdot y - (x_{0}^{2} + y_{0}^{2})

bzw.

2 \cdot x_{0} \cdot x + 2 \cdot y_{0} \cdot y - z = (x_{0}^{2} + y_{0}^{2})

\Rightarrow

\vec{n} = (\begin{matrix} 2 \cdot x_{0} \\ 2 \cdot y_{0} \\ - 1 \end{matrix})

Kartoffelchipsman aktiv_icon

21:56 Uhr, 19.02.2022

Das geht auch:

Der Paraboloid sei definiert durch

p : R^{2} \to R^{3}, (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) \mapsto (\begin{matrix} x \\ y \\ x^{2} + y^{2} \end{matrix})

.

Dann ist

s p a n (\frac{\partial}{\partial x} p (x, y), \frac{\partial}{\partial y} p (x, y)) = s p a n ((\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 2 \cdot x \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 2 \cdot y \end{matrix}))

die Menge aller Tangentialvektoren des Paraboloids im Punkt

(\begin{matrix} x \\ y \\ x^{2} + y^{2} \end{matrix})

.

Das orthogonale Komplement dazu und somit

die Menge aller Normalenvektoren des Paraboloids im Punkt

(\begin{matrix} x \\ y \\ x^{2} + y^{2} \end{matrix})

ist dann

s p a n ((\begin{matrix} 2 \cdot x \\ 2 \cdot y \\ - 1 \end{matrix})),

wobei man

(\begin{matrix} 2 \cdot x \\ 2 \cdot y \\ - 1 \end{matrix})

(oder skalare Vielfache davon) durch Lösen von

(\begin{matrix} 1 & 0 & 2 \cdot x & | 0 \\ 0 & 1 & 2 \cdot y & | 0 \end{matrix})

findet.

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