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Normalenvektor bestimmen

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Normalenvektor, Skalarprodukt, Vektor, Vektorrechnung

aventuriny aktiv_icon

13:46 Uhr, 30.10.2013

Wir haben im Unterricht folgende Aufgabe besprochen, die ich nicht verstanden habe:

Bestimmen Sie einen Normalenvektor von a und

b

a = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix})

b = (\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 3 \end{matrix})

Wir haben

a \cdot n = 0

und

b \cdot n = 0

gesetzt, weil cosinus von

0 =

90° ist.
Ab da kann ich den Rechenweg nicht mehr nachvollziehen. Bitte um Hilfe!

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ebenen in Normalenform
Parallelverschiebung
Rechnen mit Vektoren - Einführung
Rechnen mit Vektoren - Fortgeschritten
Skalarprodukt

Bummerang

13:53 Uhr, 30.10.2013

Hallo,

wie kann man Dir den gerechneten Weg erklären, wenn Du ihn hier nicht angiebst? Und was nutzt Dir ein anderer Weg, den vorhandenen zu verstehen?

rundblick aktiv_icon

13:55 Uhr, 30.10.2013

".. weil cosinus von

0 =

90° ist. "

... ... ... ... .

\to

Nein !

also:

\to

weil cosinus von 90°

= 0

ist!
und:

wie habt ihr den Ansatz für

\vec{n}

dann aufgeschrieben?

\vec{n} =

?

und damit dann

\vec{a} \cdot \vec{n} = 0 \to . .

. ?

\vec{b} \cdot \vec{n} = 0 \to . .

. ?

aventuriny aktiv_icon

14:55 Uhr, 30.10.2013

Tut mir leid, dass ich den Weg nicht aufgeschrieben habe. Wir haben das einfach schon eine Weile her gemacht und ich habe keinen richtigen Überblick mehr über diese Rechnungen...

a \cdot n = 0

(Weil cosinus von 90°

= 0)

(\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} n 1 \\ n 2 \\ n 3 \end{matrix}) = 0

b \cdot 0 = 0

(\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 3 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} n 1 \\ n 2 \\ n 3 \end{matrix}) = 0

1 \cdot n 1 + 2 \cdot n 2 + 3 \cdot n 3 = 0

2 \cdot n 1 + 0 \cdot n 2 + 3 \cdot n 3 = 0

(Bis hierhin alles verständlich)

sei

n 1 = t

t + 2 n 2 + 3 n 3 = 0

2 t + 3 n 3 = 0 ... ... . .

- 2 t

3 n 3 = - 2 t ... ... ... ...

: 3

n 3 = - (\frac{2}{3}) t

t + 2 n 2 + (- 2 t) = 0 . .

+ 2 t

t + 2 n 2 = 2 t ... ... ... ... ...

- t

2 n 2 = t ... ... ... ... ... ... ...

: 2

n 2 = \frac{1}{2} t

Für

t = 6

ergibt sich

n = (\begin{matrix} 6 \\ 3 \\ - 4 \end{matrix})

6 ist glaube ich das kleinste gemeinsame Vielfache von

n 2

und

n 3

aber wie kommt man auf sowas?

Ich hoffe die Rechnungen ist verständlich aufgeschrieben. Ich brauche eine Erklärung für diese Rechenschritte, weil ich sie garnicht mehr nachvollziehen kann.

prodomo aktiv_icon

17:35 Uhr, 30.10.2013

Das hast du sehr gut wieder zusammengefügt.

\vec{n}

muss zu

\vec{a}

und zu

\vec{b}

orthogonal sein, damit das Skalarprodukt mit beiden 0. Das gibt dir zwei Gleichungen, du hast aber 3 Variable

n_{1}

bis

n_{3}

. Darin steckt, dass über die Länge von

\vec{n}

nichts gesagt ist (auch bei doppelter Länge bleibt er orthogonal

!)

. Daher kannst du eine Komponente frei wählen, am Schluss passt man dann die Komponenten so an, dass sie ganzzahlig sind.

aventuriny aktiv_icon

18:12 Uhr, 30.10.2013

Ich verstehe zwar das Prinzip, aber nicht die Rechnungen an sich.

Zum Beispiel hier:

t + 2 n 2 + 3 n 3 = 0

2 t + 3 n 3 = 0

Wo ist die

2 n 2

aus der ersten Zeile und woher kommt das

2 t

?

Oder hier:

2 \cdot n 1 + 0 \cdot n 2 + 3 \cdot n 3 = 0

\to t + 2 n 2 +

(−

2 t) = 0

eigentlich müsste es doch

t + 3 n 3 = 0

sein ?

Oder ich verstehe irgendwas gravierend falsch

rundblick aktiv_icon

19:13 Uhr, 30.10.2013

Zum Beispiel hier:

t + 2 n 2 + 3 n 3 = 0

2 t + 3 n 3 = 0

Wo ist die

2 n 2

aus der ersten Zeile und woher kommt das

2 t

__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}

\to

SCHAU DIR DIESE ZEILEN NOCHMAL AN:

\to

__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{}

1 .) \to

1⋅n1+2⋅n2+3⋅n3=0

2 .) \to

2⋅n1

+

0⋅ n2+3⋅n3=0

(Bis hierhin alles verständlich)

sei

n 1 = t

__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}_

ALSO->
du hast die beiden Gleichungen und setzt in BEIDEN nun für

n_{1} = t

ein

\to

1 .) \to t + 2 \cdot n_{2} + 3 \cdot n_{3} = 0

2 .) \to 2 \cdot t + 3 \cdot n_{3} = 0

aus

2 .)

minus

1 .) \to

... ... ... ... ... . . \Rightarrow t - 2 \cdot n_{2} = 0

also

... ... ...

t = 2 \cdot n_{2}

__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}_

und aus

2 .) \to

... ... ... .

2 \cdot t + 3 \cdot n_{3} = 0

bekommst du sofort

... ... ... .

\Rightarrow 2 t = - 3 n_{3}

__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{}

zusammengefasst:

n_{1} = t

n_{2} = \frac{1}{2} t

n_{3} = - \frac{2}{3} t

oder:

6 n_{1} = 6 t

6 n_{2} = 3 t

6 n_{3} = - 4 t

alle möglichen Normalenvektoren

\vec{n}

kannst du also für beliebige

t \neq 0

dann so schreiben

\to

\vec{n} = t \cdot (\begin{matrix} 6 \\ 3 \\ - 4 \end{matrix})

ok?

aventuriny aktiv_icon

19:36 Uhr, 30.10.2013

Wow danke genau so eine Erklärung hab ich gebraucht! Ich hab die Rechnung tatsächlich verstanden!

An einer Stelle muss man ja die 2. Gleichung minus die 1. rechnen. Macht man das damit

n 3

wegfällt? Was wenn das mit dem Subtrahieren bei einer anderen Aufgabe nicht funktioniert? gibt es da weitere verfahren? addieren, multiplizieren...

6 wählt man ja für

t

weil es das kleinste gemeinsame vielfache von

n 2

und

n 3

ist. logisch, aber wie findet man das rechnerisch heraus und nicht einfach nur durch ausprobieren?

danke nochmal du hast es sehr gut erklärt!!

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