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Normalenvektoren einer Ebene

Schüler

Tags: eben, Gleichungen, Normalenvektor, Vektor

preXxl aktiv_icon

21:22 Uhr, 11.01.2012

Servus Community!

Ich habe ein kleines Problem mit einer Mathe-Aufgabe! Ich steh irgendwie auf dem Schlauch!
Hier mal die Aufgabe:

a)

Die Ebene durch die drei Punkte

A = (3 | 1 | 4), B = (4 | 3 | 1)

und

C = (1 | 4 | 3)

hat den Vektor

n \to

als Normalenvektor!

(n \to = 1,1,1)

Bestätigen Sie dies.

Nun das Problem: wie bestätigt, bzw. wie beweist man dies nun?

Vielen Dank schonmal im Vorraus!

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ebenen in Normalenform
Parallelverschiebung
Rechnen mit Vektoren - Einführung
Rechnen mit Vektoren - Fortgeschritten
Skalarprodukt

Misantroph aktiv_icon

21:26 Uhr, 11.01.2012

Ein Normalenvektor ist senkrecht zu den beiden Vektoren, die man aus den Punkten bilden kann. Das Skalarprodukt des Normalenvektors mit einem der jeweiligen Vektoren ist Null, wenn sie senkrecht aufeinander stehen. Berechne erst einmal die beiden Vektoren und dann das jeweilige Skalarprodukt mit dem Normalenvektor.

Grüße

preXxl aktiv_icon

21:29 Uhr, 11.01.2012

Danke schonmal für die Antwort!

Da ich neu in dem gebiet bin, weiss ich jedoch nicht wie ich die Vektoren aus den Punkten ausrechne!

Misantroph aktiv_icon

01:58 Uhr, 12.01.2012

Hallo,

kein Problem. Durch die drei Punkte kannst du eine Ebene in Parameterform berechnen:

E : \vec{x} =

Ortsvektor

+ r \cdot

(Richtungsvektor eins)

+ s \cdot

(Richtungsvektor zwei)

Der Ortsvektor lässt sich aus einem der gegebenen Punkte nehmen, du kannst ihn dir aussuchen. Wir nehmen mal A. Von A nach

B

und von A nach

C

gehen zwei verschiedene Richtungsvektoren, die eine Ebene aufspannen (man kann sie sich als Pfeile grafisch vorstellen). Die Richtungsvektoren bekommen wir, wenn wir die Richtung von A nach

B

und von A nach

C

ausrechnen:

Wir schreiben die Punkte als Vektoren:

(\begin{matrix} 3 \\ 1 \\ 4 \end{matrix}); (\begin{matrix} 4 \\ 3 \\ 1 \end{matrix}); (\begin{matrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{matrix})

Für die Richtung A nach

B

ziehe ich

\vec{b}

von

\vec{a}

ab:

(\begin{matrix} 4 \\ 3 \\ 1 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 3 \\ 1 \\ 4 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ - 3 \end{matrix}) \Rightarrow

mein erster Richtungsvektor

Dasselbe für A nach

C :

(\begin{matrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 3 \\ 1 \\ 4 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 2 \\ 3 \\ - 1 \end{matrix}) \Rightarrow

mein zweiter Richtungsvektor

Einsetzen in die Parameterdarstellung:

E : \vec{x} = (\begin{matrix} 3 \\ 1 \\ 4 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ - 3 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} - 2 \\ 3 \\ - 1 \end{matrix})

Jetzt noch das Skalarprodukt der Richtungsvektoren mit dem gegebenen Normalenvektor ausrechnen und dann hast du es schon bewiesen.
Das Skalarprodukt ist die Multiplikation der Vektoren Reihe für Reihe. Die Summe der Faktoren ist das Skalarprodukt.

Grüße

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