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Normalform einer Quadrik

Universität / Fachhochschule

Matrizenrechnung

Tags: diagonaliesierung, Matrizenrechnung, Normalform, Quadrik, transformation

DRobert aktiv_icon

19:30 Uhr, 27.01.2011

Hallo,

es geht darum die komplizierte Form einer Quadrik so zu vereinfachen, sodass man auf die Normalform kommt, bei der man sieht was das für eine Quadrik ist.
Es sei eine Quadrik gegeben durch:

q :

3(x1)²+4x1*x2+(x3)²-2x1+4x2+5=0

Den ersten Schritt weis ich. Man muss die symmetrische Matrix A herausbekommen, die Eigenwerte berechnen, mit deren Eigenvektoren (

\in

der Matrix

F

)man A diagonalisieren kann. Und außerdem mache ich die Substitution

d =

a*F(transponiert). Ich weis auch wie das alles geht. Nur weis ich nicht wie man den linearen und den konstanten Anteil wegbekommt. Ich bräuchte eine ausführliche Rechnung und Erläuterung zu jedem Schritt.

Ich hab schon mal die Matrix

F

mit Hilfe der Eigenwerte (

1; - 1; 4

(vielleicht nachprüfen)) ermittelt:

F =

(0; - 1; 2)

(0; 2; 1)

(1; 0; 0)

Die Diagonalmatrix

D

ist somit:

D =

(1; 0; 0)

(0; - 1; 0)

(0; 0; 4)

d = (- 2; 4; - 1

)(transponiert)

Kann mir jetzt bitte jemand weiterhelfen, wenn es um die Entfernung des linearen und Konstanten Anteils geht?

Danke!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

BeeGee aktiv_icon

16:25 Uhr, 29.01.2011

Hallo!

Das Thema ist bei mir schon Ewigkeiten her, daher bitte ich um Nachsicht.

Allgemein lautet die Quadrik:

${\vec{x}}^{T} \cdot A \cdot \vec{x} + 2 \cdot {\vec{a}}^{T} \cdot \vec{x} + d = 0$

$A = (\begin{matrix} 3 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) u n d \vec{a} = (\begin{matrix} \begin{matrix} - 1 \\ 2 \end{matrix} \\ 0 \end{matrix})$

Ich bekomme auch die Eigenwerte 1; -1 und 4 heraus. Wir haben die Eigenvektoren immer normiert. Damit lautet meine Matrix F:

$F = (\begin{matrix} 0 & - \frac{1}{\sqrt{5}} & \frac{2}{\sqrt{5}} \\ 0 & \frac{2}{\sqrt{5}} & \frac{\begin{matrix} 1 \end{matrix}}{\sqrt{5}} \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix}) u n d F^{T} = (\begin{matrix} 0 & 0 & 1 \\ - \frac{1}{\sqrt{5}} & \frac{2}{\sqrt{5}} & 0 \\ \frac{2}{\sqrt{5}} & \frac{1}{\sqrt{5}} & 0 \end{matrix})$

Der lineare Teil lautet:

$2 \cdot {\vec{a}}^{T} \cdot F = 2 \cdot (\begin{matrix} \begin{matrix} - 1 & 2 \end{matrix} & 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 0 & - \frac{1}{\sqrt{5}} & \frac{2}{\sqrt{5}} \\ 0 & \frac{2}{\sqrt{5}} & \frac{1}{\sqrt{5}} \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix}) = 2 \cdot (\begin{matrix} \begin{matrix} 0 & \sqrt{5} \end{matrix} & 0 \end{matrix})$

Nach dieser Koordinatentransformation mit Diagonalmatrix und dem obigen Linearteil lautet die Quadrik:

$y_{1}^{2} - y_{2}^{2} + 4 y_{3}^{2} + 2 \sqrt{5} y_{2} + 5 = 0$

Quadratisches Ergänzen liefert:

$y_{1}^{2} - (y_{2}^{2} - 2 \sqrt{5} y_{2} + 5 - 5) + 4 y_{3}^{2} - 5 = 0 y_{1}^{2} - {(y_{2} - \sqrt{5})}^{2} + 4 y_{3}^{2} = 0$

Nach Substitution:

$\frac{w_{1}^{2}}{1^{2}} - \frac{w_{2}^{2}}{1^{2}} + \frac{w_{3}^{2}}{{(\frac{1}{2})}^{2}} = 0$

Dies wäre ein einteiliger Kegel. Einverstanden?

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