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Normalform einer Quadrik bestimmen

Universität / Fachhochschule

angewandte lineare Algebra

Tags: Normalform Quadriken

anonymous

20:34 Uhr, 24.03.2010

Hallo,
ich sitze an einer Aufgabe, bei der ich nicht mal verstehe wie und wo ich anfangen soll.
Die Aufgabe lautet:
Bestimmen Sie die Normalform der folgenden Quadrik:

Q := {x, y, z

ℝ^{3} | \frac{1}{2} \cdot x^{2} + x \cdot z + y^{2} + \frac{1}{2} z^{2} + 2 y - 1 = 0}

Kann mir jemand die Schritte erklären, die ich zu tun habe?

Schon mal herzlichen Dank :-)

schorch

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Alx123 aktiv_icon

22:32 Uhr, 24.03.2010

Hallo,
eine Quadrik ist die Lösungsmenge einer Quadratischen Form

f (x)

mit

n

Variablen, man benutzt hierfür auch die Matrixschreibweise:

f (x) = x^{T} A x + b^{T} x + k = 0

wobei

A

eine symmetrische

n \times n

Matrix ist und

b \in R^{n}, k \in R .

x^{T} A x

ist der quadratische Teil und

b^{T} x

der lineare Teil

Die Quadratische Form auf Normalform zubringen heisst, eine Koordinatentransformation durchzuführen und zwar so das die Fläche die dadurch beschrieben wird, zentral um den Koordinatenursprung liegt.

Hierbei unterscheidet man noch ob der lineare Teil vorhanden ist oder nicht.
Wenn er nicht vorhanden ist kann man sofort die Koordinatentransformation durchführen. Wenn der lineare Teil vorhanden ist muss man vorher noch eine Substitution durchführen damit der lineare Anteil verschwindet.

Bei deiner Aufgabe handelt es sich um eine Quadratische Form mit drei Variablen, wobei auch der lineare Teil vorkommt, allgemein kann man dafür schreiben:

f (x) = a x^{2} + b y^{2} + c z^{2} + 2 d x y + 2 e x z + 2 f y z + g x + h y + i z + k

Da man später die Koordinatentransformation benuten muss, muss man die Quadratische Form in die Matrizenform umschreiben. Die passende symmetrische Matrix

A

hierfür hat allgemein die Form:

A = (\begin{array}{rrr} a & d & e \\ d & b & f \\ e & f & c \end{array})

Für die zwei Vektoren

x, b

gilt:

x = (\begin{array}{rrr} x \\ y \\ z \end{array}), b = (\begin{array}{rrr} g \\ h \\ i \end{array})

also gilt bei deiner Aufgabe:

A = (\begin{array}{rrr} \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \\ 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \end{array}), b = (\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 0 \end{array}), x = (\begin{array}{rrr} x \\ y \\ z \end{array}), k = - 1

Damit kannst du jetzt deine Quadratische Form in der Matrizenschreibweise darstellen:

\frac{1}{2} x^{2} + x z + y^{2} + \frac{1}{2} z^{2} + 2 y - 1 = x^{T} A x + b^{T} x + k

um den linearen Teil wegzukriegen muss man jetzt die folgende Substitution benutzen:

y = x + \frac{1}{2} A^{- 1} b

damit kann man schreiben:

y^{T} A y = d

wobei noch für

d

gilt:

d = k + \frac{1}{4} b^{T} A^{- 1} b

das ist eine äquivalente Quadratische Form, d.h. es handelt sich um die gleiche Quadrik, also es gilt:

x^{T} A x + b^{T} x + k = 0 \overset{}{\Leftrightarrow} y^{T} A y = d

Jetzt kann man die Koordinatentransformation durchführen, es gilt allgemein:

x^{T} A x = y^{T} D y = λ_{1} y_{1}^{2} + . . . . + λ_{n} y_{n}^{2}

mit

P^{T} A P = D

und der Koordinatentransformation

y = P^{T} x

wobei

A

eine symmetrische

n \times n

Matrix ist. Die Matrix

P

ist eine orthogonale

n \times n

Matrix und

D

ist die

n \times n

Diagonalmatrix, die auf der Diagonalen die Eigenwerte von der Matrix

A

hat.
Du musst also noch die Eigenwerte und die Eigenvektoren berechnen und damit die Matrix

P

bestimmen.

Der Ausdruck

λ_{1} y_{1}^{2} + . . . . + λ_{n} y_{n}^{2} = d

ist die Normalform.

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