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Normalform von Quadrik bestimmen

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Tags: Determinant, Eigenwert, Linear Abbildung, Lineare Unabhängigkeit

ninabecker aktiv_icon

19:30 Uhr, 10.01.2021

Hallo,

habe folgende Aufgabe:

a)

Berechnen Sie die Normalform der Quadrik a(x,y)=x^2+2xy-2y=0 im

R^{2}

und stellen Sie die Quadrik in den jeweiligen Zwischenbasen skizzenhaft dar.

b)

Wieso kann man eine Matrix der Form nicht durch simultane Zeilen- und Spaltenumformungen in Diagonalgestalt bringen

(Matrix im Anhang)

Wisst ihr wie man die Normalform bestimmt, ich weiß leider nicht, wie man hier vorgeht?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michaL aktiv_icon

20:04 Uhr, 10.01.2021

Hallo,

sieht für mich nach einer Hyperbel aus:

x^{2} + 2 x y = 2 y ∣ + y^{2}

x^{2} + 2 x y + y^{2} = y^{2} + 2 y ∣ + 1

(x + y)^{2} + 1 = (y + 1)^{2}

1 = (y + 1)^{2} - (x + y)^{2}

gemäß 3. bin. Formel

1 = [(y + 1) + (x + y)] [(y + 1) - (x + y)]

Nimmt man als neue

x

-Richtung gerade die Winkelhalbierende

x ʹ = x + y

, ergibt sich:

1 = [(y + 1) + x ʹ] [(y + 1) - x ʹ]

Verschiebt man die

y

-Achse um -1, d.h. setzt man

y ʹ = y + 1

, so erhält man:

1 = [y ʹ + x ʹ] [y ʹ - x ʹ]

Dreht man das Koordinatensystem erneut, d.h. setzt man

x ʺ = y ʹ + x ʹ

und

y ʺ = y ʹ - x ʹ

, so findet man die Gleichung

1 = x ʺ y ʺ

bzw.

y ʺ = \frac{1}{x ʺ}

, eine Hyperbelgleichung.

Mfg Michael

ninabecker aktiv_icon

16:14 Uhr, 18.01.2021

Oh, super, vielen Dank!

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