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Normalteiler, Kommutatorgruppe

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Tags: Gruppen, Kommutatorgruppe, Normalteiler

 
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Fliege

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08:07 Uhr, 21.10.2019

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Hallo zusammen,

ich komme einfach nicht bei folgenden Aufgaben zu Normalteilern weiter, obwohl ich dachte, dass die Beweise eigentlich ganz simpel sein müssten...:

1) Die Menge {ρφ: φ} (d.h. die Rotationen um den Ursprung um den Winkel φ ) ist eine Untergruppe von E(2), der Gruppe der Isometrien auf 2. Das habe ich noch geschafft, zu beweisen. Aber jetzt will ich widerlegen, dass diese Menge ein Normalteiler von E(2) ist. Ich dachte, ich könnte einfach ein weiteres Element aus E(2) nehmen, z.B. eine Translation, damit eine beliebige Rotation konjugieren und dann sehen, dass die entstehende Isometrie nicht mehr in der gegebenen Menge liegt. Aber damit bin ich nicht weiter gekommen, weil ich einfach keine Translation bzw. Spiegelung finden konnte, die nicht wieder eine beliebige Rotation ergeben hat....
Alternativ habe ich mir die Rechts- und Linksnebenklasse zur Translation um den Vektor (0,1) angeschaut. Hierzu habe ich einen beliebigen Vektor (a,b) genommen, mit der Matrix, die Rotationen beschreibt, multipliziert und anschließend mit (0, 1) verschoben (Linksnebenklasse), bzw. erst verschoben und dann rotiert (Rechtsnebenklasse). (Jetzt frage ich mich, ob das überhaupt so stimmt....) Ist die Menge ein Normalteiler, sollten die Links- und Rechtsnebenklassen ja übereinstimmen. Aber jetzt bin ich mir nicht mehr so sicher, wie ich das Ergebnis auszuwerten habe... eigentlich müsste ich ja jetzt mindestens einen Punkt finden, der sicher in der einen Nebenklasse liegt, aber nicht in der anderen. Nach einem weiteren Satz wären dann ja die Nebenklassen sogar disjunkt... aber ich sehe diesen Punkt nicht...

2) In einer anderen Aufgabe soll ich folgendes beweisen:
G - Gruppe, N - Untergruppe erzeugt durch {x2:xG}. Nun soll gezeigt werden, dass N ein Normalteiler von G ist und, dass die Kommutatorgruppe [G,G] in N enthalten ist. Bei beidem steh ich völlig auf dem Schlauch. Ich hatte ähnliche Ansätze, wie bei Aufgabe 1): Entweder einfach die Normalteilerdefinition prüfen und gucken, ob Konjugation eines Elements aus N mit einem beliebigen Element aus G wieder in N liegt. Oder prüfen, ob die Rechts- und Linksnebenklassen zu einem Element gleich sind. Oder irgendwie zeigen, dass der Index [G:N] = 2 ist.... Ich komme jedoch bei keinem der Ansätze weiter.
Genauso schwierig gestaltet sich auch der Teil mit der Kommutatorgruppe: Mein größtes Problem hier ist, dass die Kommutatorgruppe ja anscheinend nicht nur Kommutatoren enthält, sondern auch andere Elemente. Ich dachte an eine Fallunterscheidung, bin aber auch hier schnell ins Stocken geraten...

Wäre froh, wenn mir jemand Tipps geben bzw. die Sachverhalte erklären könnte. Vielleicht habe ich einfach etwas nicht richtig verstanden an der ganzen Normalteiler-Thematik... Vielen Dank schon mal!



Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
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ermanus

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08:52 Uhr, 21.10.2019

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Hallo,

zu 1)
Sei τ die Translation vv+(1,0)T und ρ die Rotation um
180o. Wenn f:=τ-1ρτ eine Rotation wäre, müsste
der Ursprung unter f fix bleiben. Prüfe das mal!

zu 2)
vielleicht fällt dir zu
(gxxg-1)(gg)(xx) und zu (xx)-1xyx-1y-1(yy) etwas ein ?

Gruß ermanus
Fliege

Fliege aktiv_icon

14:26 Uhr, 21.10.2019

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Dankeschön!
Die 1) ist mir jetzt klar. Auf dem Dampfer war ich auch schon, hab aber den Gedanken nicht zu Ende gedacht... xD.

Zur 2). Mit dem ersten Teil kann ich vielleicht was anfangen:
Also: g*x2 in G (stimmt diese Annahme? Das ist eine Stelle, die verwirrt mich immer etwas. Eigentlich darf ich ja alle Elemente aus einer Gruppe beliebig miteinander verknüpfen, aber liegt die dann wirklich immer in G?), dann ist (g*x2)2 in der gegebenen Untergruppe. Das lässt sich schrittweise zu (g*x2*g-1)*g2*x2 umformen. Die letzten beiden Faktoren sind in der Untergruppe wegen deren Definition enthalten. Da Untergruppen abgeschlossen sind, muss auch der erste Faktor in der Untergruppe enthalten sein. D.h. für ein beliebiges g aus G gilt, dass (g*x2*g-1) in der Untergruppe liegt, also ist die Untergruppe ein Normalteiler.

Zum anderen Vorschlag ist mir leider nicht viel brauchbares eingefallen. In (xx)-1xyx-1y-1(yy) steckt ja der Kommutator [x,y] = xyx-1y-1 drin. Davor und dahinter stehen mit (xx)-1 und yy Elemente der Untergruppe. Rechne ich das jetzt aus, komme ich auf xyx-1y. Ich habe überlegt, ob das Ganze auf ein ähnliches Argument wie oben hinauslaufen könnte, bin aber nicht weiter gekommen...
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ermanus

ermanus aktiv_icon

15:42 Uhr, 21.10.2019

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Hallo,

das Erste von Aufgabe 2 hast du richtig verstanden, und dass gx2 in der Gruppe liegt,
ist trivial, wie du schon sagtest ...
Beim Teil mit den Kommutatoren hast du dich verrechnet, sodass du
dadurch den Sinn der Konstruktion nicht erkennen konntest.
Es kommt x-1yx-1y, also (x-1y)2 heraus.

Fliege

Fliege aktiv_icon

16:04 Uhr, 21.10.2019

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Upps... naja, jetzt hab ich es glaube ich begriffen.

Also, am Ende hab ich folgendes:
x-1 und y aus G beliebig. Dann ist (x-1y)2 in der Untergruppe. Weil sich das zu (x-1)2[x,y]y2 ausformulieren lässt, und die beiden Quadrate in der Untergruppe sind muss auch wegen der Abgeschlossenheit der Kommutator von x und y in der Untergruppe liegen. Weil x und y beliebig aus G sind, gilt das für alle Kommutatoren von G, also ist [G,G] in dieser Untergruppe enthalten. Aber was ist mit den Elementen aus [G,G], die keine Kommutatoren sind? Ich muss gestehen, ich verstehe diese Sache nicht so ganz. Leider hatten wir in der Vorlesung bzw. im Skript nur diesen einen Kommentar stehen, aber keine weiteren Infos oder Beispiele...

Aber vielen Dank für die Hilfe, jetzt habe ich zumindest alles andere besser verstanden!
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ermanus

ermanus aktiv_icon

16:08 Uhr, 21.10.2019

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[G,G] wird von den Kommutatoren erzeugt, die werden ihrerseits
von Quadraten erzeugt,
also werden mittelbar alle Elemente von [G,G] von Quadraten erzeugt.

Gruß ermanus
Frage beantwortet
Fliege

Fliege aktiv_icon

16:10 Uhr, 21.10.2019

Antworten
Vielen Dank! Jetzt ist alles klar :-D)!