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Normalteiler von direktem Produkt

Universität / Fachhochschule

Gruppen

Tags: Gruppen

Berenike aktiv_icon

14:52 Uhr, 14.08.2020

Es seien

G_{1}, G_{2}, \dots G_{k}

Gruppen und

N_{i}

Normalteiler von

G_{i} .

für

1 \leq i \leq k

z.z. a)

N_{1} \times N_{2} \times \dots \times N_{k} ⊴ G_{1} \times G_{2} \times \dots \times G_{k} .

b) Zu zeigen, dass

(G_{1} \times \dots \times G_{k}) / N_{1} \times N_{2} \dots \times N_{k} ≅ (G_{1} / N_{1}) \times (G_{2} / N_{2}) \dots \times (G_{k} / N_{k})

Zeigen müssen wir also:

a N_{1} \times N_{2} \times \dots \times N_{k} = N_{1} \times N_{2} \times \dots \times N_{k} a

\forall a \in G_{1} \times G_{2} \times \dots \times G_{k}

(

\subseteq

): Sei

g \in a N_{1} \times N_{2}

\Rightarrow \exists (N_{1}, n_{2}, \dots, n_{k}) \in N_{1} \times N_{2} \times \dots N_{k} : g = (g_{1}, g_{2}, \dots, g_{k}) (n_{1}, n_{2}, \dots, n_{k})

\Rightarrow g = (g_{1} n_{1}, g_{2} n_{2}, \dots, g_{k} n_{k}) = (n_{1} g_{1}, n_{2} g_{2}, \dots, n_{k} g_{k}) = (n_{1}, n_{2}, \dots, n_{k}) (g_{1}, g_{2}, \dots, g_{k})

\subseteq N_{1} \times N_{2} \times \dots N_{k} a

Die Kommutativität innerhalb der Kompenenten gilt wegen der Voraussetzung, dass jedes

N_{i}

Normalteiler von

G_{i}

ist.
(

\supseteq

) geht völlig analog.

Somit gilt also, dass

a N_{1} \times N_{2} \times \dots \times N_{k} = N_{1} \times N_{2} \times \dots \times N_{k} a

\forall a \in G_{1} \times G_{2} \dots \times G_{k}

Zu b) Wir suchen also einen geeigneten Isomorphismus. Idee: Überlegen wir wie das Bild aussieht und versuchen daraus herzuleiten wie das Argument aussehen muss.
Nun, ein kanonisches Bild ist:

(a_{1} N_{1}, \dots, a_{k} N_{k})

mit

a_{i} \in G_{i} .

Das zugehörige Argument muss folglich lauten:

(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{k})

.

Das Problem ist jetzt aber, dass das Argument nur im "Zähler" vorkommt im zugehörigen Quotientenraum. Wie kann ich nun argumentieren, dass sie auch im "Nenner" vorkommt ?

Würde mich über Hilfe freuen!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michaL aktiv_icon

15:34 Uhr, 14.08.2020

Hallo,

vermutlich kommst du recht einfach mit dem Homomorphiesatz (für Gruppen) voran, der besagt: Ist

φ : G \to H

ein surjektiver(!) Gruppenhomomorphismus und

N := \ker (φ)

, so gilt

G / N ≃ H

.

Was bräuchtest du hier?

Du müsstest eine (kanonische) Abbildung

φ : G_{1} \times \dots \times G_{k} \to (G_{1} / N_{1}) \times \dots \times (G_{k} / N_{k})

finden, die sich als
(i) surjektiv und
(ii) Homomorphismus
erweist.
Du müsstest außerdem herausarbeiten, dass
(iii)

\ker (φ) = N_{1} \times \dots \times N_{k}

gilt.

Mfg Michael

Berenike aktiv_icon

15:55 Uhr, 14.08.2020

Hi MichaL!

Danke für den Tipp. Ich werde es demnächst versuchen und dann das Ergebnis hier schreiben!

Und zum Teil a)... bist du zufrieden, oder?

ermanus aktiv_icon

16:52 Uhr, 14.08.2020

Hallo,
will nur kurz bemerken, dass du (a) überdenken musst:
Die alternierende Gruppe

N := A_{3}

ist Normalteiler von

G = S_{3}

.
Sei nun

a := (12) \in G

und

n := (123) \in N

, dann gilt zwar

a N = N a

,
aber

a n \neq n a

.
Gruß ermanus

Berenike aktiv_icon

17:17 Uhr, 14.08.2020

Hi Ermanus!

Meiner Meinung nach muss man unbedingt über die Komponenten gehen. Wir müssen ja etwas über das kartesische Produkt von Gruppen zeigen. Also, dass sich die Normalteilereigenschaft auf das direkte Produkt vererbt.

Es ist nach Definition einmal sicher richtig, dass

N_{1} \times \dots \times N_{k} ⊴ G_{1} \times G_{2} \dots \times G_{k}

bedeutet, dass

a N_{1} \times \dots \times N_{k} = N_{1} \times \dots \times N_{k} a

\forall a \in G_{1} \times G_{2} \dots \times G_{k}

. Und das direkte Produkt von Gruppen ist komponentenweise definiert.
Wie sollen wir denn sonst hinkommen, wenn es ein Gegenbeispiel gibt zur Kommutativität der Komponenten?

ermanus aktiv_icon

17:28 Uhr, 14.08.2020

a_{i} N_{i} = N_{i} a_{i}

bedeutet elementweise
Zu

n_{i} \in N_{i}

gibt es

{\tilde{n}}_{i} \in N_{i}

, so dass

a_{i} n_{i} = {\tilde{n}}_{i} a_{i}

ist ...

P.S.: ein gutgemeinter Rat von mir:
beschäftige dich nochmal intensiver mit dem Normalteilerbegriff.

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