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Normalvektor

Schüler

Tags: Verständnisfrage

Christian- aktiv_icon

21:02 Uhr, 07.10.2015

Guten Abend liebe Genosssen,
ich beschäftige mich mit dem Normalvektor, dabei sind mir paar Fragen aufgetaucht.
1. Ich weiß, dass ein Normalvektor, anders ausgedrückt, ein Vektor ist, dass orthogonal zu einem anderen steht. Mathematisch bedeutet das:

\vec{a} \cdot \vec{n} = 0

(also im

ℝ^{2}, (ℝ^{3}

will ich hier nicht anreißen))

D . h,

dass bei einer Skalarmultiplikation Null herauskommen muss, dann beweist man mathematisch, dass Normalenvektor zu

\vec{a}

in der Ebene

\vec{n}

ist.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Meine Frage die sich dabei stellt:1. Müssen zwei Vektore in einer ebene gegeben sein, damit man den Normalvektor bildet?
2.Kann man anstatt

\vec{n}

auch

\vec{b}

oder sonstige Buchstaben verwenden?Oder steht tatsächlich

\vec{n}

für den Normalvektor?!
3. Öffters höre ich etwas von der Normalebene im Zusammenhang mit Normalvektor, was bedeutet das?
4. Das ist meine letzte Frage. Wir sind im

ℝ^{2}

. Kann man hier

\vec{a} x \vec{b} = \vec{n}

anwenden?( Also, ob man in einer Ebene Kreuzprodukt anwenden darf.

Danke schon mal, wenn mir einer helfen kann.:-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Ma-Ma aktiv_icon

21:17 Uhr, 07.10.2015

Hallo Christian,
gut , dass Du Dich erstmal im

2 D

bewegst.

Der Normalenvektor wird allgemein als

\vec{n}

bezeichnet.
(In der Programmierung würde man von "sprechenden " Variablen reden.)

Man kann ihn natürlich auch anders benennen

...

.

LG MA-MA

Ma-Ma aktiv_icon

21:24 Uhr, 07.10.2015

3 .)

Bei Ebenen bist Du noch nicht angekommen

. .

. das verschieben wir mal auf später.

zu

4 .)

Ob man das Kreuzprodukt im

2 D

anwenden darf, diese Frage hattest Du schon mal gestellt

. .

. (Erinnerst Du Dich ?)

lG Ma-Ma

Christian- aktiv_icon

21:26 Uhr, 07.10.2015

Ah okey, drei von drei Fragen hast du beantwortet. Danke Dir dafür.

Ich bin jetzt im

ℝ^{3}

Raum. Eigentlich auch sehr verständlich.
Der Normalvektor unterliegt einer Orthogonalitätsbedingung. Mit anderen Worten, er muss senkrecht stehen, sei es in einer Ebene, oder auf einem oder zwei.... Vektoren.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Spannt man zwei vektoren in einem euklidischen Raum auf, so kann man ein Parallelogramm entstehen lassen.
Und auf dieser Fläche(dreidimensionale Ebene) kann man sozusagen undelich viele Normalvektoren bilden lassen, sowohl positiv als auch negativ.
Stimmt das?

Ma-Ma aktiv_icon

21:32 Uhr, 07.10.2015

Zuerst noch zu Frage

1 .)

"Müssen zwei Vektore in einer ebene gegeben sein, damit man den Normalvektor bildet?"

Wir bewegen uns im

2 D

.
Du zeichnest auf ein Blatt Papier die

(z . B .)

x-Achse (eines Koordinatensystems).

Kannst Du mit Hilfe dieses Vektors

(z . B

. x-Achse) einen Normalenvektor erstellen ?
Oder brauchst Du hier noch einen weiteren Vektor ?

Christian- aktiv_icon

21:35 Uhr, 07.10.2015

Logisch betrachtet, könnte man auch auf diesen Vektor schon den Normalvektor zeichnen bzw. rechnerisch bestimmen lassen.

zu4) Ich habe mich geschämt nochmal nachzufragen, eigentlich habe ich das noch nicht so richtig verstanden, wollte euch halt nicht weiter nerven und sagte einfach ,,ok,ok''

\cdot, \cdot

Ma-Ma aktiv_icon

21:47 Uhr, 07.10.2015

Zu Frage

1)

. Unser Beispiel im

2 D :

Der Normalenvektor zur x-Achse wäre doch die y-Achse

. .

. (jetzt mal ganz egal, ob sie nach oben oder nach unten zeigt.)

- - - - - - - - - - - - - - -

zu 4. Kreuzprodukt im

2 D :

Probiere doch mal selber

. .

.

Im

2 D :

\vec{a} = (\begin{matrix} 2 \\ 0 \end{matrix})

und

\vec{b} = (\begin{matrix} 0 \\ 2 \end{matrix})

########## korrigiert #########
Zeichne Dir die Vektoren ein und bilde das Kreuzprodukt

. .

.

Im

3 D :

\vec{a} = (\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

und

\vec{b} = (\begin{matrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{matrix})

Zeichne Dir die Vektoren ein und bilde das Kreuzprodukt

. .

.

Etwas selber machen bringt den AHA-Effekt !

LG Ma-Ma

Christian- aktiv_icon

21:58 Uhr, 07.10.2015

Im zweidimensionalen Raum:

\vec{a} x \vec{b} = (2 \cdot 0 - 2 \cdot 0) = \vec{0}

Also, bildlich kann ich mir vorstellen wie

\vec{a}

und

\vec{b}

sind.Sie sind kollinear zueinander. Heißt eigentlich, dass es ein Sonderfall ist. Sie dürfen ja nicht linear abhängig sein, damit man

\vec{n}

bilden kann.

Im

ℝ^{3}

genau das selbe, es kommt ein Nullvektor heraus.

Ma-Ma aktiv_icon

22:01 Uhr, 07.10.2015

Ich hatte einen Schreibfehler drin

. .

. habe korrigiert.
Bitte nochmal auf meinen letzten Post schauen.

Christian- aktiv_icon

22:07 Uhr, 07.10.2015

Ah so, du hast es korrigiert.

\vec{a} = (\begin{matrix} 2 \\ 0 \end{matrix}); \vec{b} = (\begin{matrix} 0 \\ 2 \end{matrix})

\vec{a} x \vec{b} = \vec{c}

(\begin{matrix} 2 \\ 0 \end{matrix}) x (\begin{matrix} 0 \\ 2 \end{matrix}) = (2 \cdot 2 - 0 \cdot 0) = 4

ehmm... kommt 4 raus xDD
und nun?XD

Christian- aktiv_icon

22:12 Uhr, 07.10.2015

Ich glaube, dass es nur im

ℝ^{3}

anwendbar ist.

Ma-Ma aktiv_icon

22:17 Uhr, 07.10.2015

Deine Antwort um

22 : 07

Uhr:
Ich weiß nicht, wo Du Deine Formel her hast

. .

. es müsste 0 rauskommen .

Im

3 D

würde

| \vec{a} \times \vec{b} | = 4

rauskommen.

- - - - - - - - - -

2 D

kommt 0 raus, weil es ja keinen Vektor in Richtung z-Achse gibt (ist jetzt vereinfacht gesagt).

Es wäre sehr vorteilhaft, wen Du Dir eine Formelsammlung anschaffst.
Da stehen auch die Voraussetzungen drin, wann man das Kreuzprodukt (sinnvoll) anwenden darf.

Ma-Ma aktiv_icon

22:29 Uhr, 07.10.2015

Jetzt Du Deiner Frage von

21.26

Uhr:
"Spannt man zwei vektoren in einem euklidischen Raum auf, so kann man ein Parallelogramm entstehen lassen.
Und auf dieser Fläche(dreidimensionale Ebene) kann man sozusagen undelich viele Normalvektoren bilden lassen, sowohl positiv als auch negativ.
Stimmt das?"

Nimm ein Blatt Papier und halte es in Augenhöhe vor Dir.
Nimm einen kleinen Stift (ca. 5 cm lang) und setze ihn senkrecht auf das Blatt Papier.
Dieser Stift ist Dein Normalenvektor.

Gibt es nur EINE Position für diesen Stift ? Oder evtl. mehrere ? Oder eventl. unter dem Blatt Papier ?

- - - - - - - - - - - -

Nimm einen großen Stift (ca.

20

cm lang) und setze ihn senkrecht auf das Blatt Papier.
Dieser Stift ist Dein Normalenvektor.

Gibt es nur EINE Position für diesen Stift ? Oder evtl. mehrere ? Oder eventl. unter dem Blatt Papier ?

LG Ma-Ma

Christian- aktiv_icon

22:33 Uhr, 07.10.2015

man kann doch das kreuzprodukt nicht in einem

2 s

raum anwenden

Christian- aktiv_icon

22:34 Uhr, 07.10.2015

22 : 29

Uhr,

07.10.2015

Unendlich viele Normalvektoren gibt es. Sie müssen nur senkrecht auf einer Ebene in

ℝ^{3}

sein. Sowohl Positive als auch negative. Und das überall könnte man sagen.

Ma-Ma aktiv_icon

22:59 Uhr, 07.10.2015

In meiner Formelsammlung ist das Kreuzprodukt nur für

3 D

definiert.
(Im

2 D

ist es immer

0,

macht also keinen Sinn.)
LG Ma-Ma

Christian- aktiv_icon

23:01 Uhr, 07.10.2015

Genau, habe mich beim

ℝ^{3}

verlesen. Das ist richtig.
Alles klar, dann hätten wir das. Ich habe es verstanden, und alles ist gut.

So jetzt beschäftige ich mich mit der Geradengleichung in Bezug auf Vektoren.

Schöne Grüße

Christiaaaan

:_{)}

Ma-Ma aktiv_icon

23:05 Uhr, 07.10.2015

Ein kleiner Nachtrag:
der Normalenvektor kann als

| \vec{a} \times \vec{b} |

oder

| \vec{b} \times \vec{a} |

definiert sein

. .

.
(siehe Formelsammlung).

Beachte auch die Betragsstriche

. .

. kann es einen NEGATIVEN Normalenvektor geben ?
(Kann es eine negative Fläche geben?)
LG MA-Ma

Christian- aktiv_icon

23:43 Uhr, 07.10.2015

Ich schätze schon, dass es einen negativen Vektor geben kann.

| \vec{a} x \vec{b} |

ist nicht weiter als

| \vec{c} |

wenn wir

\vec{c}

durch

\vec{n}

ersetzen, ist

| \vec{n} | = \sqrt{n_{x}^{2} + n_{y}^{2} + n_{z}^{2}}

Betrag ist die Länge eines Vektors. Das habe ich gelernt.

Der negative Vektor könnte in der optischen Darstellungsweise in den Minusbereich in einem euklidischen Raum zeigen, wenn wir jetzt uns eine Ebene in einem Raum betrachten.

Christian- aktiv_icon

23:47 Uhr, 07.10.2015

Logischerweise gibt es keine negative Fläche.

Ma-Ma aktiv_icon

23:49 Uhr, 07.10.2015

"Logischerweise gibt es keine negative Fläche."

Logischerweise gibt es dann keinen negativen Normalenvektor

...

Christian- aktiv_icon

23:49 Uhr, 07.10.2015

Vielleicht gibt es as solches keinen negativen Vektor, das negative zeigt bloß, dass der Vektor in eine andere Richtung zeigt. Wobei es dann auf den Koordinatenachsen so aussieht, als würde er sich ins Minusbereich bewegen. Aber als solches, kann man nicht von DEM neagativen Vektor sprechen. Wie siehst du das?

Ma-Ma aktiv_icon

00:07 Uhr, 08.10.2015

Wenn Betragsstriche stehen, ist der Wert immer positiv.

(z . B

. Fläche)

| \vec{b} \times \vec{a} |

könnte von DIR aus gesehen natürlich nach unten zeigen

. .

.

Ein Koordinatensystemsystem kann man drehen

. .

. wer sagt denn, dass die Pfeilrichtung (des Normalenvektors) nach unten in negative Richting gehen muss

. .

. alles eine Betrachtungssache

. .

.

(Im

2 D

könnte man die y-Achse nach UNTEN mit einem Pfeil versehen, so wären alle Werte, die unterhab der x-Achse liegen im positiven Bereich

... .)

(Bei Ebenen wird Dir diese Sache noch öfter begegnen

. .

. )

Wie gesagt: Formelsammlung zeigt dazu passende Skizzen und es erleichtert das Verständnis

...

Christian- aktiv_icon

00:13 Uhr, 08.10.2015

Das erleichtert das Verständis auch so, wenn man sich es vorstellen kann. Ich kann es mir vorstellen...

Irgendwo muss ich ansetzen, man könnte Vieles aus verschiedenen Blickwinkeln betrachten.
Aber wenn ich mir gerade das kartesische Koordinatensystem vor dem geisten Auge vorstelle, dann habe ich klare Bilder im Kopf.

Natürlich kann man dann das ganze Gebilde gedanklich drehen, sodass es wieder optisch positiv aussieht. Ist halt eine Betrachtungsweise. Ich habe mich ja auf eine Betrachtungsweise festgelegt, und an Hand von dieser orientiere ich mich. Du verstehst was ich meine.

Lieb euch

Ma-Ma aktiv_icon

00:20 Uhr, 08.10.2015

Nun ja, später werden Dir