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Normalvektor im R3
Schüler Fachschulen, 10. Klassenstufe
Tags: Geometrie
 
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anonymous 15:37 Uhr, 03.03.2007  |
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Angabe: ABCD ist die Basis eines Würfels mit A (5/0/4), D(6/4/12). B liegt in der x y - Ebene, wobei jener Punkt zu nehmen ist, der ganzzahlige Koordinaten besitzt! Berechne die Koordinaten der Würfeleckpunktes. Frage: Da im Würfel alle Seiten gleich lang sind könnte ich doch den Normalvektor auf AD nehmen? Doch das Vektorprodukt kann ich nicht nehmen, da ich dann die Normale auf die Grundfläche des Würfels erhalten würde. Nur wie erhalte ich den Vektor AB im R3 (also 3 Koordinaten), der normal auf AD steht. Falls ich einen falschen Ansatz habe bitte sagen. |
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Hallo Herrschel da gibt es bestimmt verschiedene Ansätze. Was klar ist: einen Normalenvektor zum vektor AD gibt es nicht! Vielmehr bilden alle Normalenvektoren durch A eine ganze Ebene: die Ebene, die senkrecht auf AD steht und den Punkt A enthält. Versuche diese Ebenengleichung aufzustellen: Vektor AD = (1/4/8) Dann hat die Ebenengleichung diese Gestalt: x + 4y + 8z = d Um d zu bestimmen, setzt du am Besten einfach die Koordinaten von A ein, weil A ja in der Ebene liegen muss: Damit ergibt sich für die Ebenengleichung: x + 4y + 8z = 37 Irgendwo in deiser Ebene liegt also B. B soll in der xy-Ebene liegen, das heisst: z muss Null sein. Das ergibt dann: x + 4y = 37 Das ist also eine Gerade in der xy-Ebene. Auf dieser Geraden muss B liegen! Nun muss B von A die gleiche Entfernung haben wie D von A. Der Vektor AD (1/4/8) hat die Länge 9. Du brauchst also nur noch auf der Geraden den Punkt zu bestimmen, der von A den Abstand 9 hat. Da ein Punkt auf der Geraden diese Darstellung hat: (37-4y/y/0) ist der Vektor AB dieser: (32-4y/y/-4) Bestimme y also so, dass die Länge der Wert 9 hat: (32-4y)2+y2+16=81 Nach y auflösen, anhand der Geradenleichung das zugehörende x bestimmen und jenes wählen, welches ganzgahlige Koordinaten hat. Alles klar? Gruss Paul |
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anonymous 22:10 Uhr, 03.03.2007 |
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Ich habe mich mit Bemühen durch deine hilfreiche Anleitung gekämpft und das Beispiel lösen können. Ich bin einfach nur begeistert wie meisterhaft das von dir erläutert wurde. Vielen Dank noch einmal. Einfach klasse!!! P.S.: die Lösung für B ist (9/7/0). |
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