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Normalvektorform berechnen

Schüler Sonstige,

Tags: Ebenengleichung, Normalvektorform

IvaDenis aktiv_icon

15:08 Uhr, 21.07.2019

Hallo,

Wir hängen an einem Beispiel:

Gib die Gleichung der Ebene

a)

in Parameterform

b)

in Normalvektorform an,
die durch die Punkte

A (3 | 0 | 12), B (- 6 | 2 | 15), C (9 | 6 | 11)

gegeben ist.

a)

War leicht:

X : (3, 0, 12) + s \cdot (- 9, 2, 3) + t \cdot (6,6, - 1)

b)

habe ich folgende Gleichung aufgestellt:

x = 3 - 9 s + 6 t

y = 0 + 2 s + 6 t

z = 12 + 3 s - 1 t

So jetzt komme ich nicht weiter, weil ich nicht weiß wie ich rechnen soll, da mir immer

s

oder

t

übrig bleibt.

Hoffe jemand kann mir da weiterhelfen

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ebenen in Normalenform
Ebenen in Parameterform

anonymous

16:24 Uhr, 21.07.2019

Hello,

1. Normalenvektor

n

,der senkrecht auf der Ebene steht:

n = (B - A)

(C - A) = (\begin{matrix} - 9 \\ 2 \\ 3 \end{matrix})

(\begin{matrix} 6 \\ 6 \\ - 1 \end{matrix})

(sogenanntes Vektorprodukt, siehe Formelsammlung)

= (\begin{matrix} 2 \cdot (- 1) - 3 \cdot 6 \\ 3 \cdot 6 - (- 9) \cdot (- 1) \\ (- 9) \cdot 6 - 2 \cdot 6 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 20 \\ 9 \\ - 66 \end{matrix})

.

2. Für zwei Punkte

P_{1}, P_{2}

in der Ebene ist dann
das Skalarprodukt

(P_{2} - P_{1}) \cdot n = 0,

da die Vektoren

(P_{2} - P_{1})

und

n

orthogonal sind
(Beachte Dualität von Ortsvektor und Punkt).

Mit

z . B

P_{1} = A

und

P_{2} = X

als einem beliebigen Punkt
in der Ebene erhält man dann eine sogenannte
Normalenform der Ebenengleichung

(X - A) \cdot n = 0

.

Mit

X = (\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix})

kann man das ausschreiben als

(x - 3) \cdot (- 20) + (y - 0) \cdot 9 + (z - 12) \cdot (- 66) = 0

\Leftrightarrow

- 20 \cdot x + 60 + 9 \cdot y - 66 \cdot z + 792 = 0

\Leftrightarrow

20 \cdot x - 9 \cdot y + 66 \cdot z = 852

.

Ich hoffe, ich häbe mich nicht verrechnet,
viel Spaß beim Überprüfen...

anonymous

17:41 Uhr, 21.07.2019

Es geht natürlich auch mit dem LGS
(wobei ich eher "großschrittig" rechne).

(1)

x = - 9 \cdot s + 6 \cdot t + 3

(2)

y = 2 \cdot s + 6 \cdot t

(3)

z = 3 \cdot s - t + 12

(1)

und

(2)

liefern per Gleichsetzungsverfahren
(4)

x + 9 \cdot s - 3 = y - 2 \cdot s (= 6 \cdot t)

und

(2)

und

(3)

ebenso
(5)

\frac{1}{6} \cdot y - \frac{1}{3} \cdot s = - z + 3 \cdot s + 12 (= t)

\Leftrightarrow

(4)

- \frac{1}{11} \cdot x + \frac{1}{11} \cdot y + \frac{3}{11} = s

(5)

\frac{1}{20} \cdot y + \frac{3}{10} \cdot z - \frac{18}{5} = s

wieder gleichsetzen liefert

- \frac{1}{11} \cdot x + \frac{1}{11} \cdot y + \frac{3}{11} = \frac{1}{20} \cdot y + \frac{3}{10} \cdot z - \frac{18}{5}

\Leftrightarrow

- x + y + 3 = \frac{11}{20} \cdot y + \frac{33}{10} \cdot z - \frac{198}{5}

\Leftrightarrow

- \frac{20}{20} \cdot x + \frac{9}{20} \cdot y - \frac{66}{20} \cdot z = - \frac{213}{5}

\Leftrightarrow

20 \cdot x - 9 \cdot y + 66 \cdot z = 852

IvaDenis aktiv_icon

14:19 Uhr, 24.07.2019

Vielen Dank für die Hilfe. Kann ich den ersten lösungsvorschlag beim Normalvektor immer verwenden? Weil du etwas erwähnt hast mit (Beachte Dualität von Ortsvektor und Punkt).
.

LG

anonymous

15:08 Uhr, 24.07.2019

Ja, kannst du, sofern dein Lehrer oder so das erlaubt,
also, das Vektorprodukt anzuwenden.
An der Uni ist das sehr streng - dort soll man
Aufgaben nicht nur (irgendwie) lösen, sondern
das auch mit genau den dafür vorher erlernten
Methoden, nur mal nebenbei...
Dualität bedeutet, dass es beides ist:
Ein Punkt im Raum kann immer auch als ein
Ortsvektor, also ein Pfeil von der Null
zu diesem Punkt, betrachtet werden oder
umgekehrt ein Ortsvektor als Punkt am
Ende vom Pfeil.
Beim Rechnen ist das egal.
Hast du denn sonst alles verstanden ?
ich habe es ja nicht gerade sehr
kleinschrittig aufgeschrieben...

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