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Normalverteilung

Schüler

Tags: Was mache ich da?

Quadratsepp aktiv_icon

10:21 Uhr, 21.04.2024

Hallo,

im Anhang eine Aufgabe.

Die Gesamte Aufgabe basiert ja auf der Aufgabenstellung

a)

.
Meine Frage ist nicht, wie man das konkret löst, das weiß ich.

Meine Frage ist: was mache ich da eigentlich? :-D)

Ich habe ja ein Merkmal

X

und dann wird die "Formel" auf

Y

umgestellt oder was wird da gemacht?

Vielen Dank :-)

pivot aktiv_icon

14:21 Uhr, 21.04.2024

Hallo,

du hast eine normalverteilte Zufallsvariable

X

. Mittels linearer Transformation erzeugst du eine neue Zufallsvariable Y, die ebenfalls normalverteilt ist. Ist

X \sim N (μ, σ^{2})

, dann erhält man hier die Zufallsvariable

Y \sim N (2 \cdot μ + 2, 4 \cdot σ^{2})

.

Gruß
pivot

Roman-22

14:36 Uhr, 21.04.2024

@pivot
>dann erhält man hier die Zufallsvariable Y∼N(2⋅μ+2,4

σ^{2})

2 \cdot μ - 2,

nicht

2 \cdot μ + 2

2 \cdot σ^{2},

nicht

4 \cdot σ^{2}

EDIT: falsch! Hier hatte pivot Recht (siehe unten)

@Quadratsepp

>

Meine Frage ist: was mache ich da eigentlich? :-D))
Konkretes, konstruiertes und daher praxisfernes Beispiel:
Denk dir, dass

X

der Durchmesser von Kugeln, die gefertigt werden, ist - Sollwert

X = 10 m m,

Standardabweichung

σ = 1 m m

.
Ein Röhrchen mit Innendurchmesser etwas größer als

10

mm wird 2 mm tief in ein Holzbrett eingelassen und dann zwei der Kugeln eingefüllt.
Im Idealfall liegt also der höchste Punkt der obersten Kugel

2 \cdot 10 m m - 2 m m = 18 m m

hoch.
Die Zufallsvariable

Y

entspricht nun dieser Höhe und ist eben auch normalverteilt mit

μ_{Y} = 18 m m

und

σ_{Y} = \sqrt{2} m m \approx 1,41 m m

.
EDIT: Richtig ist:

σ_{Y} = 2 m m

.

Diese aus irgend einem Grund interessierende Höhe streut also (wenig überraschend) mehr als die einzelnen Kugeldurchmesser.

Quadratsepp aktiv_icon

15:32 Uhr, 21.04.2024

Super, Danke.

Ich halte fest: es handelt sich hierbei um eine neue Zufallsvariable, auf Basis der alten.
Die neue Zufallsvariable steht darüber hinaus in keinem Zusammenhang mit der alten.

pivot aktiv_icon

15:44 Uhr, 21.04.2024

2 \cdot σ^{2}

nicht

4 \cdot σ^{2}

<<

Es ist doch

V a r (2 X - 2) = V a r (2 X) = 4 \cdot V a r (X) = 4 \cdot σ^{2}

Roman-22

16:07 Uhr, 21.04.2024

>

Es ist doch Var(2X-2)=Var(2X)=4⋅Var(X)=4⋅σ2
Nein!
Die Varianz der Summe zweier unabhängiger normalverteilter Zufallsgrößen ist

V a r (X + Y) = V a r (X) + V a r (Y)

.
Und für

Y = X

dementsprechend

V a r (2 X) = V a r (X + X) = V a r (X) + V a r (X) = 2 \cdot V a r (X) = 2 σ^{2}

pivot aktiv_icon

16:11 Uhr, 21.04.2024

X ist nicht unabhängig von X. Das Gegenteil ist der Fall. X hängt vollständig von X ab.

Deshalb ist

V a r (2 X) = 4 V a r (X) = 4 \cdot σ^{2}

Sind X und Y zwei von einander unabhängige Zufallsvariablen mit jeweils der Varianz

σ^{2}

, dann ist in der Tat

V (X + Y) = 2 \cdot σ^{2}

Roman-22

16:21 Uhr, 21.04.2024

Oops, ja, sorry!. Du hast natürlich Recht!

V a r (X + X) = V a r (X) + V a r (X) + 2 \cdot C o v (X, X) = V a r (X) + V a r (X) + 2 \cdot V a r (X) = 4 \cdot V a r (X)

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