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Normalverteilung Erwartungswert, Varianz

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Erwartungswert

Verteilungsfunktionen

Tags: Erwartungswert, Normalverteilung, Tabelle, Verteilungsfunktion

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17:20 Uhr, 11.04.2015

Hallo allerseits,

Ich bin gerade dabei folgendes Beispiel zu lösen:

In einer Getränkefabrik werden 1-Liter-Flaschen eines Erfrischungsgetränkes maschinell abgefüllt. Die Erfahrung zeigt, dass im Mittel 4% aller abgefüllten Flaschen weniger als 0.97 l und 3% aller abgefüllten Flaschen mehr als 1.03 l des betreffenden Getränkes enthalten. Die zufällig in eine Flasche eingefüllte Getränkemenge (in Litern) wird als Wert der Zufallsvariablen X angesehen. Man berechne Erwartungswert und Varianz von X, wenn X eine

N (μ, σ^{2})

-Verteilung besitzt und in Einklang mit den angegeben Erfahrungswerten P(X<0.97) = 0.04 und P(X>1.03) = 0.03 gilt.

Ich habe einen Ansatz gefunden und mit diesem gearbeitet und bin dabei zu folgendem Lösungsweg gekommen:

Weil es sich um eine Normalverteilung handelt kann man sich die Werte mit Z=

\frac{X - μ}{σ} b e r e c h n e n .

Daraus folgt:

Φ

(0.04) =

\frac{0.97 - μ}{σ}

Φ

(0.03) =

\frac{1.03 - μ}{σ}

Hier kommt mein Problem. Wenn ich in der Tabelle für die Normalverteilung auf Wikipedia den Wert für 0.04 suche finde ich: 0,51595
In dem Lösungsansatz wird allerdings -1,750686071 angegeben.

Meine Frage: Habe ich den Lösungsansatz falsch verstanden oder lese ich die Tabelle falsch? Falls der Ansatz falsch ist, wie könnte ich den richtigen Wert für Z finden?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Roman-22

19:20 Uhr, 11.04.2015

"
Daraus folgt:
Φ(0.04) = 0.97-μσ
Φ(0.03) = 1.03-μσ
"

Nein, das ist falsch. Die Verteilungsfunktion

Φ (x)

liefert dir die Wahrscheinlichkeit

P (X \leq x)

für die Standardnormalverteilung und dir ist auch sicher schon aufgefallen, dass in der Tabelle alle Werte größer als 0,5 sind.
Du hast diese Wahrscheinlichkeiten gegeben, also musst du die Tabelle in umgekehrter Weise verwenden (die p-Quantilen suchen).

1)

Φ (\frac{0, 97 - μ}{σ}) = 0, 04

und um hier mit der Tabelle arbeiten zu können musst du erst umformen. Du solltest einen Zusammenhang zwischen

Φ (x)

und

Φ (- x)

kennen gelernt haben.

2)

Φ (\frac{1, 03 - μ}{σ}) = 1 - 0, 03 = 0, 97

(Anm.: Das ist ein Zufall. Diese Zahl stellt eine Wahrscheinlichkeit dar und hat mit der Füllmenge 0,97 Liter nichts zu tun!)
Hier habe ich die Beziehung

P (X \leq x) = 1 - P (X > x)

verwendet.
Also schau, für welches

x

du in der Tabelle (ungefähr) den Wert

0, 97

ablesen
könntest. Kontrolle: Wenn du in der Gegend von 1,880793608151 landest, dann hast du es richtig gemacht.

Gruß R

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11:28 Uhr, 12.04.2015

Hallo nochmals und danke für die Antwort,

Da die ganze Sache aber selbst erarbeitet werden muss und wir keine theoretischen Hintergründe kriegen (und ich deshalb den Zusammenhang zwischen

Φ (x)

und

Φ (- x)

nicht kenne), hab ich jetzt noch eine Frage:

Ich nehme mal an, dass der Zusammenhang durch die Symmetrie gegeben ist.
Weiters hab ich das folgendermaßen verstanden: Man muss beim ersten Beispiel zuerst umformen weil es nur P(X<x) und nicht kleiner gleich ist oder?

Und ich schaue dann nicht den Wert von 0,04 (oder eben was nach dem Umformen rauskommen würde) nach also in der Zeile und Spalte passend zu 0,0 und 0,04 sondern ich suche nach einem Wert innerhalb der Tabelle und suche die passende Zahl an den Rändern oder?

Das wärs erstmal und danke nochmals.

Roman-22

12:55 Uhr, 12.04.2015

Nein,

\leq

oder

<

ist bei stetigen Zufallsgrößen völlig gleichwertig und muss nicht unterschieden werden.
Du musst hier deshalb umformen, weil die meisten Tabellen für die standardisierte Normalverteilung die WKTen nur für Werte größer 0 angeben. Also für Stellen rechts vom Maximum (Mittelwert) der Glockenkurve. Deshalb sind dort alle Werte auch größer 0,5. Die Fläche unter der Glockenkurve von

- \infty

bis zu einem Wert rechts vom Mittelwert ist natürlich mehr als die Hälfte der Gesamtfläche, welche bekanntlich 1 beträgt. Die standardisierte NV hat den Mittelwert 0. Die WKT, dass ein Wert etwa kleiner als

- 0, 7

ist aus Symmetriegründen dieselbe, als dass der Wert größer als

1, 3

. In der Tabelle findest du aber nur die WKT dafpr, dass der Wert kleiner als

1, 3

ist. Wie musst du also vorgehen?
Im übrigen ist der Zusammenhang zwischen

Φ (x)

und

Φ (- x)

bei den meisten Tabellenwerken irgendwo mit aufgedruckt.

"
Und ich schaue dann nicht den Wert von 0,04 (oder eben was nach dem Umformen rauskommen würde) nach also in der Zeile und Spalte passend zu 0,0 und 0,04 sondern ich suche nach einem Wert innerhalb der Tabelle und suche die passende Zahl an den Rändern oder?
"

Ja, aber den Wert 0,04 wirst du in deinen Tabellen vermutlich vergeblich suchen - er ist ja kleiner als 0,5. Den Wert 1-0,04=0,96 solltest du aber finden.

Manche Tabellenwerke stellen auch eigene Quantilen-Tablellen zu Verfügung bei denen du dir dieses "umgekehrte" Lesen der Tabellen ersparst.

Gruß R

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22:14 Uhr, 12.04.2015

So ich glaub ich hab es jetzt verstanden:

Immer wenn der gesuchte Wert kleiner als 0.5 ist rechnet man 1-Wert und sucht dann mit diesem Wert in der Tabelle oder?

Also würde ich bei 0.04 so vorgehen, dass ich 1-0.04 rechne (das ist das Umformen von dem du in deiner ersten Antwort gesprochen hast oder?) und suche dann 0.96 aus der Tabelle.

Weil 0.03 auch kleiner als 0.5 ist rechne ich auch wieder 1-0.03 und verwende das Ergebnis für die Tabelle.

Roman-22

23:32 Uhr, 12.04.2015

Die Gründe, warum du sowohl bei 0,03, als auch bei 0,04 den Ergänzungswert auf 1 in der Tabelle nachschlägst sind unterschiedlich!

Bei den 0,04 ist der Grund simpel der, dass die Tabelle nur Werte größer als 0,5 anbietet. Du schlägst daher bei 0,96 nach und multiplizierst dafür den Wert, den du erhältst, mit -1 (spiegelst ihn also am Mittelwert 0).

Bei den 0,03 verhält es sich anders. Das ist laut Angabe die WKT dafür, dass die Füllmenge *größer* als ein bestimmter Wert ist. Die Verteilungsfunktion, welche dir als Tabelle vorliegt, gibt aber grundsätzlich nur die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass eine Zufallsvariable *kleiner* als ein bestimmter Wert ist.
Daher müssen wir umformulieren - wenn die WKT für "größer" 0,03 ist, dann ist logischerweise die WKT für "kleiner" 0,97. Diesen Wert schlägst du nach und verwendest ihn ohne weitere Änderung.

Gruß R

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11:13 Uhr, 13.04.2015

Okay ich denk jetzt hab ich wirklich alles verstanden.
Wenn der Wert P(X>x) ist muss man zuerst 1 minus rechnen.
Wenn der Wert dann kleiner als 0.5 ist rechnet man nochmals 1 minus oder, weil man ja diesen Wert in der Tabelle nachschauen will?

Also ich hab das jetzt mal so berechnet wie ich denke, dass es gehört, von dem Punkt weg an dem ich aufgehört habe im ersten Beitrag:

Φ (0.04) \Rightarrow

1-0.04 = 0.96

Φ (0.96)

= 1.76 (nähester Wert in der Tabelle 0.96080 bei 1.76)

1.76 = \frac{0.97 - μ}{σ}

1.76 σ - 0.97 + μ = 0

P (X > 1.03) = 0.03 \Rightarrow P (X \leq 1.03) = 0.97

Φ (0.97)

= 1.89

1.89 = \frac{1.03 - μ}{σ}

1.89 σ - 1.03 + μ = 0

1.76 σ - 0.97 + μ = 0

II:

1.89 σ - 1.03 + μ = 0

I-II=I':

- 0.13 σ + 0.06 = 0

\Rightarrow σ = \frac{0.06}{0.13} = 0, 4615

\Rightarrow μ = 0.97 - 1.76 σ = 0.1577

Roman-22

12:59 Uhr, 13.04.2015

"
Φ(0.04)⇒1-0.04 = 0.96
Φ(0.96) = 1.76 (nähester Wert in der Tabelle 0.96080 bei 1.76)

1.76=0.97-μσ
"
Falsch - und zwar in verschiedener Hinsicht.
Es ist nicht Φ(0.96) = 1.76 sondern Φ(1,76) = 0,96!
Außerdem benötigen wir Φ(-1,76) = 0,04.
Du hast diesen (negativen!) Wert von der Musterlösung doch selbst in deiner Initialfrage angegeben.
Der Mittelwert, den du berechnet hast, sollte dir doch auch sehr suspekt erscheinen. Es ist doch offensichtlich, dass der Mittelwert sehr nahe bei 1 Liter liegen wird.
Die von dir errechneten Werte würden besagen, dass die Abfüllanlage auf eine (mittlere) Füllmenge von nur 0,16 Liter eingstellt ist, aber so schlecht funktioniert, dass die mittlere Abweichung fast einen halben Liter beträgt - also ganz offensichtlicher Unfug! Es schadet níe, seine berechneten Ergebnis mit etwas Hausverstand zu interpretieren und zu hinterfragen.

Auch bei deinen Tabellen kannst du noch ein wenig Genauigkeit rausquetschen, indem du etwas linear interpolierst. Der Wert -1,76 ist jedenfalls nicht optimal gerundet.
Außerdem findest du im Internet zu Hauf Tabellen für die Quantilen der Normalverteilung, in denen du die benötigten Werte viel bequemer und genauer ablesen kannst.
Ich nenne nachstehend nur die ersten beiden Links, die eine schnelle Suche zu Tage förderten:

http://www.vwi.tu-dresden.de/~treiber/statistikFormelnTabellen/erf_quantile.pdf

www.wiso.uni-hamburg.de/uploads/media/normtab_01.pdf

Beide liefern dir bequem den genaueren Wert

- 1, 7507

und der zweite Link hat noch dazu den Vorteil, dass du sogar unter 0,04 direkt nachschlagen kannst.

Auch dein zweiter Wert, ebenfalls leider ohne Interpolation ermittelt, ist ungenau. Auch hier helfen die obigen Tabellen dir, den Wert

1, 8808

zu finden, der schon sehr nah beim "exakten" Wert liegt, welchen ich dir in einer meiner ersten Antworten geschrieben habe.

Gruß R

EDIT: Deine Ableseungenauigkeiten haben aber keinen großen Einfluß auf die Genauigkeit des Ergebnisses.
Mit deinen Ablesewerten erhältst du für

μ / σ \to

0.998932 / 0.016438

Liter, mit genaueren
Werten ändert sich das Ergebnis geringfügig zu

0.998925 / 0.016522

Liter

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18:26 Uhr, 14.04.2015

Okay danke, jetzt hab ichs wirklich hin bekommen.
Die Fehler sind mir nicht aufgefallen weil ich so begeistert davon war, dass ich mal das Ablesen halbwegs mitbekommen hab. Aber jetzt ist mir das Ganze klar, und danke für die anderen Tabellen, die sind deutlich besser.

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