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Normalverteilung standardisieren

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Verteilungsfunktionen

Tags: Verteilungsfunktion

meldo1992 aktiv_icon

13:09 Uhr, 27.06.2022

Hallo ihr Lieben,

ich bräuchte mal kurz eure Hilfe, da ich leider auf dem Schlauch stehe.

Die Zufallsvariable

X

sei Normalverteilt mit Erwartungswert 2 und Varianz 4

Berechne die Wahrscheinlichkeit P

[

∣x∣

\leq 2]

Ansatz Standardisieren

P

[

∣x∣

\leq 2] = P [z \leq \frac{2 - 2}{2}] = Φ (0) = 0,5

\to P

[

∣z∣

\leq 2] = 2 Φ (0) - 1

= 2 \cdot 0,5 - 1 = 0

Was stimmt denn hier nicht?

Ergebnis sollte eigenltich

0,4772

lauten.

Ich gehe davon aus, dass ich falsch standardisiert habe.

Über Rückmeldung freu ich mich!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Roman-22

13:37 Uhr, 27.06.2022

Beachte den Betrag!

| x | \leq 2

ist gleichbedeutend mit

- 2 \leq x \leq 2

.
Daher

P (| x | \leq 2) = P (x \leq 2) - P (x \leq - 2)

Du hast so gerechnet, als würdest es um einen Bereich um den Mittelwert und hast völlig richtig die Wahrscheinlichkeit für den Bereich mit der Breite 0 um den Mittelwert mit Null berechnet, also

Φ (0 \leq z \leq 0) = P (2 \leq x \leq 2) = 0

;-)

Mit dem Wahrscheinlichkeitsrechner von GeoGebra kannst du die Sache recht anschualich darstellen lassen:

meldo1992 aktiv_icon

13:53 Uhr, 27.06.2022

Vielen Dank für die schnelle und hilfreiche Antwort!

Also:

\to P (X \leq 2) - P (X \leq - 2)

= P (z \leq (\frac{2 - 2}{2})) - P (z \leq (\frac{- 2 - 2}{2})

= P (z \leq 0) - P (z \leq - 2)

= Φ (0) - (1 - Φ (- 2)

= 0,5 - (1 - 0,9772)

= 0,5 - 0,0228

= 0,4772

Ich verstehe jetzt nicht ganz wieso in meiner Formelsammlung steht:

P

[

∣z∣<=a)

= P [- a \leq z \leq a] = 2 Φ (a) - 1

das stimmt demnach ja garnicht?

Roman-22

14:02 Uhr, 27.06.2022

>

das stimmt demnach ja garnicht?
Doch, das stimmt!
Bei der Formel geht es aber bereits um die standardisierte Normalverteilung mit dem Mittelwert Null. Und da ist

| z | \leq a

ein symmetrischer Bereich um den Mittelwert

μ = 0

mit der Breite

2 a \to - a \leq μ = 0 \leq a

.
Das liegt aber in deinem Fall nicht vor. Du hast zwar mit

| x | \leq 2

einen symmetrischen Bereich mit Radius 2 um den Nullpunkt zu betrachten, nur geht es da um eine Zufallsvariable mit dem Mittelwert 2.
Du hast jetzt nur die obere Integralgrenze

x = 2

transformiert und bist natürlich auf

z = 0

gekommen und hast nun durch Anwendung dieser Formel ein symmetrisches Intervall um 0 betrachtet, dessen Wkt klarerweise Null ist.
Dein konkreter Fehler lag wohl darin, dass du aus

| x | \leq 2

fälschlicherweise

| z | < 0

gefolgert hast. Richtig wäre aber, dass aus

| x | \leq 2 (\to - 2 \leq x \leq 2)

folgt:

- 2 \leq z \leq 0

.

Die Formel rührt übrigens daher. Wenn bei der standardisierten NV ein um den Mittelwert 0 symmetrisches Intervall

- a \leq z \leq a

betrachtet werden soll, gilt zunächst wie bei jedem anderen Intervall auch

P (| z | \leq a) = P (- a \leq z \leq a) = Φ (a) - Φ (- a) = (⋆)

Wegen

Φ (- a) = 1 - Φ (a)

gilt aber weiter

(⋆) = Φ (a) - (1 - Φ (a)) = 2 \cdot Φ (a) - 1

Aber nochmals - hier geht es um die stand. NV und die hat eben dem Mittelwert 0.
Für eine allgemeine NV mit anderem Mittelwert gilt Ähnliches, nur müsste dann das Intervall eben symmetrisch bezüglich des Mittelwerts sein und das ist bei deiner Aufgabe nicht der Fall

meldo1992 aktiv_icon

15:45 Uhr, 27.06.2022

Lieber Roman-22,

vielen Dank für deine Hilfe :-)

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