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Funktionalanalysis

Tags: Funktionalanalysis

 
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Lamy99

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08:34 Uhr, 14.10.2021

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Hallo, ich soll folgendes bestimmen:

sup{fL1([0,1]):fC0([0,1]),fC0([0,1])=1} und sup{fC0([0,1]):fL1([0,1]),fL1([0,1])=1}

Idee: es gilt ja fL1([0,1])=01f(x)dL(x)101dL(x)=1, wegen fC0([0,1])=sup{f(x):x[0,1]} oder? Also ist das Supremum davon 1? Für den zweiten habe ich keinen richtigen Ansatz...

Wäre für jede Hilfe dankbar!
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pwmeyer

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11:45 Uhr, 14.10.2021

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Hallo,

die Aufgabe ist formal etwas dubios, weil L1 nicht Teilmenge von C0 ist und daher die Normen nicht wohldefiniert ist. Gemeint ist aber wohl, dass Du im 2. Fall ein Gegenbeispiel finden sollst, etwa

fn(x)=nxn

Gruß pwm
Lamy99

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11:58 Uhr, 14.10.2021

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Hallo und vielen Dank erstmal für deine Hilfe!
In der Aufgabenstellung steht man soll folgende Ausdrücke bestimmen, deswegen verstehe ich nicht, warum man ein Gegenbeispiel angeben soll (ist ja keine Beweisaufgabe, oder?).

Und wie ist die erste Aufgabe zu verstehen?

Danke im Voraus.
Lamy99

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11:58 Uhr, 14.10.2021

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Hallo und vielen Dank erstmal für deine Hilfe!
In der Aufgabenstellung steht man soll folgende Ausdrücke bestimmen, deswegen verstehe ich nicht, warum man ein Gegenbeispiel angeben soll (ist ja keine Beweisaufgabe, oder?).

Und wie ist die erste Aufgabe zu verstehen?

Danke im Voraus.
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pwmeyer

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13:43 Uhr, 14.10.2021

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Hallo,

warum machst Du es nicht einfach, er ist doch kein Akt die beiden Normen für mein Beispiel auszurechnen.

Ich habe das Ganze "Gegenbeispiel" genannt, weil das supremum im zweiten Fall glei ist.

Was den ersten Teil angeht, Du hast richtig gezeigt, dass das supremum kleine gleich 1 ist. Es bleibt noch zu zeigen, dass es gleich 1 ist. Da hilft das Beispiel f(x)=1.

Gruß pwm
Lamy99

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14:38 Uhr, 14.10.2021

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Hallo, nochmal danke fürs Helfen!

Ich habe beide Normen für f(x)=nxn berechnet und erhalte fL1([0,1])=1 (wie in der Voraussetzung) und fC0([0,1])=n, also sup{fC0([0,1])}=. Wieso kann ich hier dieses Beispiel wählen? Ich glaube ich verstehe die Aufgabe noch nicht so ganz, da f ja in der Aufgabenstellung nicht genau definiert ist...

Nochmal zur ersten Aufgabe: ich habe ja allgemein (also ohne f näher anzugeben) fL1([0,1])1 gezeigt, d.h. es gilt dann sup{fL1([0,1])}=1, oder? Dann brauche ich ja nicht noch ein Beispiel f(x)=1 zu betrachten?

Vielen Dank im Voraus!


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pwmeyer

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17:54 Uhr, 14.10.2021

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Hallo,

zur ersten Aufgabe: Du hast gezeigt:

Wenn ||f||C0=1, dann gilt: ||f||L11.

Vielleicht hast Du zu schlecht abgeschätzt und es gilt tatsächlich sogar:

Wenn ||f||C0=1, dann gilt: ||f||L10.9.

Um das auszuschließen, dient das Beispiel.

Zur zweiten Aufgabe. Unter allen f mit ||f||L1=1 wird das Supremum der Werte ||f||C0 gesucht. Darunter befindet sich die angegebene Folge (fn). Für diese gilt: ||f||C0=n. Also ist Supremum =.

Gruß pwm


Frage beantwortet
Lamy99

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12:32 Uhr, 15.10.2021

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Ah achso, vielen Dank für die Hilfe :-)
Lamy99

Lamy99 aktiv_icon

15:36 Uhr, 15.10.2021

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Ich habe doch nochmal eine Nachfrage: warum genau ist nxnL1{[0,1]}=1? Ich habe es nochmal angeschaut und komme auf nn+1, welches ja für n gegen unendlich 1 ist, aber hier betrachten wir ja noch nicht das Supremum, also noch keine Limesbildung...
Antwort
pwmeyer

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18:07 Uhr, 15.10.2021

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Du hast Recht, es sollte (n+1)xn heißen.

Gruß pwm