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Funktionalanalysis

Tags: Funktionalanalysis

Lamy99 aktiv_icon

08:34 Uhr, 14.10.2021

Hallo, ich soll folgendes bestimmen:

sup

{∣ ∣ f ∣ ∣_{L^{1} ([0, 1])} : f \in C^{0} ([0, 1]), ∣ ∣ f ∣ ∣_{C^{0} ([0, 1])} = 1}

und sup

{∣ ∣ f ∣ ∣_{C^{0} ([0, 1])} : f \in L^{1} ([0, 1]), ∣ ∣ f ∣ ∣_{L^{1} ([0, 1])} = 1}

Idee: es gilt ja

∣ ∣ f ∣ ∣_{L^{1} ([0, 1])} = \int_{0}^{1} ∣ f (x) ∣ d L (x) \leq 1 \cdot \int_{0}^{1} d L (x) = 1,

wegen

∣ ∣ f ∣ ∣_{C^{0} ([0, 1])} =

sup

{∣ f (x) ∣ : x \in [0, 1]}

oder? Also ist das Supremum davon

1

? Für den zweiten habe ich keinen richtigen Ansatz...

Wäre für jede Hilfe dankbar!

pwmeyer aktiv_icon

11:45 Uhr, 14.10.2021

Hallo,

die Aufgabe ist formal etwas dubios, weil

L_{1}

nicht Teilmenge von

C^{0}

ist und daher die Normen nicht wohldefiniert ist. Gemeint ist aber wohl, dass Du im 2. Fall ein Gegenbeispiel finden sollst, etwa

f_{n} (x) = n \cdot x^{n}

Gruß pwm

Lamy99 aktiv_icon

11:58 Uhr, 14.10.2021

Hallo und vielen Dank erstmal für deine Hilfe!
In der Aufgabenstellung steht man soll folgende Ausdrücke bestimmen, deswegen verstehe ich nicht, warum man ein Gegenbeispiel angeben soll (ist ja keine Beweisaufgabe, oder?).

Und wie ist die erste Aufgabe zu verstehen?

Danke im Voraus.

Lamy99 aktiv_icon

11:58 Uhr, 14.10.2021

pwmeyer aktiv_icon

13:43 Uhr, 14.10.2021

Hallo,

warum machst Du es nicht einfach, er ist doch kein Akt die beiden Normen für mein Beispiel auszurechnen.

Ich habe das Ganze "Gegenbeispiel" genannt, weil das supremum im zweiten Fall glei

\infty

ist.

Was den ersten Teil angeht, Du hast richtig gezeigt, dass das supremum kleine gleich 1 ist. Es bleibt noch zu zeigen, dass es gleich 1 ist. Da hilft das Beispiel

f (x) = 1

.

Gruß pwm

Lamy99 aktiv_icon

14:38 Uhr, 14.10.2021

Hallo, nochmal danke fürs Helfen!

Ich habe beide Normen für

f (x) = n x^{n}

berechnet und erhalte

∣ ∣ f ∣ ∣_{L^{1} ([0, 1])} = 1

(wie in der Voraussetzung) und

∣ ∣ f ∣ ∣_{C^{0} ([0, 1])} = n

, also

s u p {∣ ∣ f ∣ ∣_{C^{0} ([0, 1])}} = \infty

. Wieso kann ich hier dieses Beispiel wählen? Ich glaube ich verstehe die Aufgabe noch nicht so ganz, da

f

ja in der Aufgabenstellung nicht genau definiert ist...

Nochmal zur ersten Aufgabe: ich habe ja allgemein (also ohne

f

näher anzugeben)

∣ ∣ f ∣ ∣_{L^{1} ([0, 1])} \leq 1

gezeigt, d.h. es gilt dann

s u p {∣ ∣ f ∣ ∣_{L^{1} ([0, 1])}} = 1

, oder? Dann brauche ich ja nicht noch ein Beispiel

f (x) = 1

zu betrachten?

Vielen Dank im Voraus!

pwmeyer aktiv_icon

17:54 Uhr, 14.10.2021

Hallo,

zur ersten Aufgabe: Du hast gezeigt:

Wenn

{| | f | |}_{C^{0}} = 1,

dann gilt:

{| | f | |}_{L_{1}} \leq 1

.

Vielleicht hast Du zu schlecht abgeschätzt und es gilt tatsächlich sogar:

Wenn

{| | f | |}_{C^{0}} = 1,

dann gilt:

{| | f | |}_{L_{1}} \leq 0.9

.

Um das auszuschließen, dient das Beispiel.

Zur zweiten Aufgabe. Unter allen

f

mit

{| | f | |}_{L_{1}} = 1

wird das Supremum der Werte

{| | f | |}_{C^{0}}

gesucht. Darunter befindet sich die angegebene Folge

(f_{n})

. Für diese gilt:

{| | f | |}_{C^{0}} = n

. Also ist Supremum

= \infty

.

Gruß pwm

Lamy99 aktiv_icon

12:32 Uhr, 15.10.2021

Ah achso, vielen Dank für die Hilfe :-)

Lamy99 aktiv_icon

15:36 Uhr, 15.10.2021

Ich habe doch nochmal eine Nachfrage: warum genau ist

∣ ∣ n x^{n} ∣ ∣_{L^{1} {[0, 1]}} = 1

? Ich habe es nochmal angeschaut und komme auf

\frac{n}{n + 1}

, welches ja für

n

gegen unendlich

1

ist, aber hier betrachten wir ja noch nicht das Supremum, also noch keine Limesbildung...

pwmeyer aktiv_icon

18:07 Uhr, 15.10.2021

Du hast Recht, es sollte

(n + 1) x^{n}

heißen.

Gruß pwm

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