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Normen, Folgen, Äquivalenz
Universität / Fachhochschule
Algebraische Topologie
Mengentheoretische Topologie
Tags: Algebraische Topologie, Mengentheoretische Topologie
 
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Hallo, ich habe ein Verständnisproblem bei folgenden Aufgaben. Ich hoffe mir kann jemand helfen. Es seien und zwei Normen auf einem Vektorraum V. Zeigen Sie die Äquivalenz folgender Aussagen: Die Normen und sind äquivalent. (ii) Jede Cauchyfolge bezüglich ist auch Cauchyfolge bezüglich und umgekehrt. (iii) Konvergiert eine Folge in bezüglich so konvergiert sie auch bezüglich und umgekehrt. Wir haben gelernt und bewiesen, dass alle Folgen auf äquivalent sind. Was ist dann hiermit gemeint? Läuft der Beweis gleich ab wie bei ? Bei den Cauchyfolgen und der Konvergenz weiß ich auch nicht wie ich starten soll. Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hallo, ich habe den Eindruck, dass (iii) (i) am schwierigsten ist. Ich will mich mal daran versuchen, wobei ich - vielleicht unerlaubt - (iii) so interpretiere, dass die Folgen unter beiden Normen jeweils denselben Limes haben. Wir haben bedeutet für alle : . Angenommen nun, es gäbe unter der Bedingung (iii) kein solches , dann gäbe es für jedes natürliche ein mit , also , folglich Dies liefert . In der Norm konvergiert also gegen 0. Nach Voraussetzung (iii) muss dann auch unter gegen 0 konvergieren, es ist aber , Widerspruch. Hat jemand eine bessere Idee? Gruß ermanus |
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Danke für deine Antwort. Wäre das jetzt (iii) gewesen oder? Wie würde man denn die anderen angehen? |
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Ja, das soll ein Beweis für (iii) (i) sein. Nun zu (i) (ii): Es sei eine Cauchyfolge (C.F.) bzgl und , dann gibt es , so dass für alle natürlichen Zahlen gilt: , also wegen (i): . Damit sollte man doch etwas anfangen können, wenn man zeigen will, dass C.F. bzgl. ist ? Gruß ermanus |
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Ich verstehe prinzipiell was du da tust aber warum das beweist, dass auch . von weiß ich nicht. Müsste ich hier eig dann (i) (ii), (ii) (iii) (iii) zeigen? Oder zeigt dieser Beweis schon die Äquivalenz (i) (ii)? |
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Hallo, mein Beitrag zu (i) (ii) soll noch gar kein Beweis sein, sondern eine Anregung, aus der du einen Beweis basteln kannst. Bei allen möglichen Beweisen für Stetigkeit oder Konvergenz wirst du immer wieder Ansätze sehen, indem man z.B. statt ein vorgibt. Man kann beispielsweise für konvergente Folgen und zeigen, dass dann gilt. Sei dazu beliebig vorgegeben, dann gibt es wegen der Konvergenz von und ein und ein , so dass für alle und für alle gilt. dann definiert man usw. usw. usw. Solche Methoden solltest du diverse Male bereits gesehen haben. Versuche also etwas Analoges mit ... Das solltest du aber selbst hinbekommen ;-) Ich dachte beim Gesamtbeweis an die typische zyklische Methode (i) (ii) (iii) (i). Gruß ermanus |
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Ok dann probier ich mal. Wenn ich da ansetze wo du aufgehört hast: Ich könnte hier doch wählen und habe somit dass und damit folgt dass und somit ist Cauchy Folge bzgl ? Wir haben sonst nichts mit Konvergenz oder Stetigkeit bezüglich Normen gemacht. Deshalb hänge ich hier immer |
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Nein, das kannst du natürlich nicht so machen. Das ist dir doch durch die Äquivalenz der Normen fest vorgegeben. Warum sollte es 1 sein? Du hast meinen Tipp nicht verstanden. Sei und eine C.F. bzgl. , dann gibt es eine natürlich Zahl , so dass für alle gilt: . Dann folgt Hattest du nicht ursprünglich einen Link oder ein Bild hochgeladen, in dem de Äquivalenz definiert wurde? Ich finde es nicht mehr. Daher bin ich mir mit oder nicht ganz sicher ... Das ändert aber nichts an der Methode. Ich habe mich übrigens bei meiner -Rede von 16:50 Uhr garnicht auf Normen bezogen, sondern auf "stinknormale" Konvergenzbetrachtungen über konvergente Folgen in , und die hattet ihr zur Genüge. |
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Ich hatte nur geschrieben dass wir bereits gezeigt haben dass auf alle Normen äquivalent sind. Wäre es mit schon gezeigt? Aber das ist doch beliebig? Dann kann ich doch nicht vorgeben oder? Ich glaub ich check das alles nicht so ganz Ich hätte auch keine Ahnung wie ich dann (ii) (iii) zeigen sollte/würde. |
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Ja, damit ist es schon gezeigt. Übrigens, bei Konvergenzbetrachtungen geht man doch immer davon aus, dass man zu einem beliebig vorgegebenen ein mit gewissen Eigenschaften angeben können muss. Das alles ist doch bereits bei ganz normalen reellen Folgen so. Schau dir die Definition von Konvergenz und Cauchyfolge noch mal genau an. Und wenn ich zu jedem ein finden kann, so dass ..., dann kann ich doch auch zu jedem ein finden, so dass ... Zu (ii) (iii): Wenn eine konvergente Folge unter ist, ist eine Cauchyfolge bzgl. , die gegen ein konvergiert. Nach (ii) ist dann auch eine Cauchyfolge unter . Diese konvergiert dann gegen dasselbe , was man ganz analog zu (ii) wieder mit zeigt. Gruß ermanus |
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Ok, das kann ich so ungefähr nachvollziehen, auch wenn ich das selbst nicht hinbekommen hätte. Da fehlt einfach oft der Gedanke dafür. Müsste man hier jetzt noch was zeigen oder reicht das schon aus? Da versteh ich auch oft nicht ob das jetzt schon fertig ist oder nicht. Gibts hierzu denn Tipps oder so, wie man derartige Beweistechniken "lernt" bzw die Gedanken dafür findet? Auf jeden Fall schon mal vielen lieben Dank für deine Hilfe. :-D) |
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Hallo, ja, das war's schon. Man sollte am Anfang vielleicht noch darauf hinweisen, dass Äquivalenz eine symmetrische Relation ist, weswegen man nur jeweils von einer Eigenschaft von auf die entsprechende Eigenschaft von schließt, und den umgekehrten Schluss nicht explizit durchführt. Man kommt irgendwann selbst auf die richtigen Gedanken, wenn man viele, viele ... Beweise und deren Ideen intensiv (!) studiert. Auch viele fleißige Lösungsversuche zu Aufgaben verschaffen einem ein gerüttelt Maß an Erfahrung. Irgendwelche Super-Rezepte oder generelle Methoden gibt es (zum Glück !) nicht. Gruß ermanus |
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