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Normen (ohne Skalarprodukt)

Universität / Fachhochschule

Skalarprodukte

Tags: Norm, Skalarprodukt

CrystalMath

17:25 Uhr, 10.11.2014

Hallo,

Die Normen

| | . | | 1

und ||.||∞ auf

R^{n}

bzw.

C ([a, b], R)

werden nicht durch ein Skalarprodukt erzeugt.

Suche einen Lösungsansatz! Kann mir jemand helfen ?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Skalarprodukt

DrBoogie aktiv_icon

17:28 Uhr, 10.11.2014

http//de.wikipedia.org/wiki/Skalarproduktnorm
(Parallelogrammgleichung)

CrystalMath

11:19 Uhr, 11.11.2014

Okay, also kann man es mit einem Beweis durch Widerspruch machen, wenn ich das richtig verstanden habe.

D . h

. wenn eine Norm die Parallelogrammgleichung erfüllt, ist von einem Skalarprodukt induziert.

Wie kann ich das aber beweisen, dass dies nicht der Fall ist? Es ist ja keine konkrete Norm dargestellt.

DrBoogie aktiv_icon

11:24 Uhr, 11.11.2014

∥ ∥_{1}

und

∥ ∥_{\infty}

sind ganz konkrete Normen:

∥ f ∥_{1} = \int ∣ f (x) ∣ d x

∥ f ∥_{\infty} = sup ∣ f (x) ∣

Z.B. für

∥ ∥_{\infty}

gibt's ein Gegenbeispiel auf

[0, 1]

f (x) = x

g (x) = 1 - x

. Für diese beiden Funktionen gilt die Parallelogrammgleichung nicht - daher kann

∥ ∥_{\infty}

nicht durch Skalarprodukt erzeugt sein.

Für die andere Norm ähnlich.

CrystalMath

12:18 Uhr, 11.11.2014

das mit ||f||∞ verstehe ich.

Aber wie schaut das mit

| | f | | 1

aus ?

DrBoogie aktiv_icon

12:43 Uhr, 11.11.2014

Z.B.

f (x) = 1

für

x \in [0, 0.5]

und

f (x) = 0

für

x \in (0.5, 1]

und

g (x) = 1 - f (x)

auf

[0, 1]

CrystalMath

12:54 Uhr, 11.11.2014

Vielen Dank

!!

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