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Normierung von Eigenvektoren

Universität / Fachhochschule

Eigenwerte

Tags: Eigenvektor, Eigenwert, Normierung

Ventura aktiv_icon

14:13 Uhr, 06.12.2013

Hallo

Ich habe ein Problem bei der Bestimmung der Eigenwerte.
und zwar habe ich folgende Matrix:¨

(\begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix})

Und habe für diesen 3 Eigenwerte erhalten
Einen Reel

(1)

zwei Komplex. Die Eigenwerte für
die beiden Komplexen davon lauten :

- \frac{1}{2} + (\frac{\sqrt{3}}{2}) i

und

- \frac{1}{2} - (\frac{\sqrt{3}}{2}) i

Daraus habe ich

(z . B

für den ersten komplexen Eigenwert folgenden Vektor abgeleitet:

V = v^{1} ((1), (- (\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i)), {(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i)}^{2}))

Jetzt wollte ich noch einen Normierungfaktor (also

v^{1})

berechnen, aber der wird bei mir immer 0 (Was ja unlogisch ist) Ich habe das ganze numerisch eingegeben und eigentlich müsste der normierungs faktor

\frac{1}{\sqrt{3}}

geben, wie beim ersten Eigenvektor mit Eigenwert

= 1 . .

.

Kann mir jemand helfen zu sehen wo ich den Fehler gemacht habe?

Ich weiss es ist leider nicht sehr genau ausgeführt aber hoffe trotzdem ob dass jemand gerade den Fehler sieht damit ich heute Abend noch ruhig schlafen kann...

Grüsse Ventura

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

pwmeyer aktiv_icon

17:18 Uhr, 06.12.2013

Hallo,

ohne Deine Rechnung ist das natürlich schwer zu beantworten.

Ich spekuliere mal: Dir war nicht bewusst, dass im Komplexen

i

. allg.

λ^{2} \neq {| λ |}^{2}

.

Gruß pwm

Ventura aktiv_icon

22:57 Uhr, 06.12.2013

Ok ich werde das ganze versuchen möglichst ausführlich aufzuschreiben:

Ich habe folgende Matrix:

(\begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix})

Ich berechne den Eigenwert und erhalte

λ^{3} = 1

\to λ_{1} = 1

(Reeller Wert)

\to λ_{2} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i

\to λ_{3} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i

Diese Eigenwerte habe ich korrekt ausgerechnet, konnte ich bereits im Internet und Taschenrechner nachprüfen.
Nun berechne ich den ersten Eigenvector:

\frac{1}{\sqrt{3}} (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})

für

λ_{1} = 1

Dieser Eigenvektor ist ebenfalls korrekt habe ich nachgeprüft. nun für

λ_{2} :

(\begin{matrix} - (- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i) & 1 & 0 \\ 0 & - (- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i) & 1 \\ 1 & 0 & - (- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i) \end{matrix}) =

(\begin{matrix} (\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i) & 1 & 0 \\ 0 & (\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i) & 1 \\ 1 & 0 & (\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i) \end{matrix})

ich substituire

(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i)

jetzt einfach mal mit

z

.

dann gilt:

v_{1} \cdot z + v_{2} = 0 \to > v_{2} = - v_{1} \cdot z

und so weiter und so fort. Setze nun

v_{1} = 1

(Normiere)
Dann erhalte ich den Vektor:

Eigenvektor

= μ \cdot (\begin{matrix} 1 \\ - z \\ z^{2} \end{matrix}) = μ \cdot (\begin{matrix} 1 \\ - (\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i) \\ {(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i)}^{2} \end{matrix})

Und diesen Normiereungsfaktor

μ

vor dem Vektor suche ich.
Aber so viel wie ich auch rechne, ich komme immer nur daraus dass der Faktor

μ = 0

sein muss...

Weil ja:

\sqrt{1^{2} + {(- (\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i))}^{2} + {(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i)}^{4}} = 1

Nun ergibt mir der Faktor unter der Wurzel aber immer 0 sollte aber 3 ergeben...
Ich würde mich sehr freuen, wenn mir jemand helfen könnte zu verstehen, wie man weiter an die Aufgabe rangehen sollte...bzw. was falsch ist...

Grüsse Ventura

Yokozuna aktiv_icon

00:45 Uhr, 07.12.2013

Hallo,

im

ℂ^{n}

ist das Standard-Skalarprodukt definiert als

< x, y > = \sum_{i = 1}^{n} \bar{x_{i}} \cdot y_{i}

siehe

z . B

.
http//de.wikipedia.org/wiki/Skalarprodukt#Standardskalarprodukt_im_Rn_und_im_Cn

(der Überstrich bedeutet komplexe Konjugation)

Damit ergibt sich für den Betrag eines Vektors im

ℂ^{n} :

\sqrt{< x, x >} = \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} \bar{x_{i}} \cdot x_{i}}

Wenn Du damit rechnest, bekommst Du Deine 3 unter der Wurzel.

Viele Grüße
Yokozuna

Ventura aktiv_icon

09:46 Uhr, 07.12.2013

Hallo

Danke vielmals jetzt geht es auf :-)
Toll wenn es eine Plattform gibt auf der man solche Fragen stellen kann,

Nochmals danke vielmals.

Gruss Ventura

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