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Notation Reelle Exponenten

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Tags: Operratorrangfolge, Potenzierung, Potenzreihenfolge, rechtsassoziativ, Reelle Exponenten

TeileDurchNull aktiv_icon

15:25 Uhr, 19.05.2014

Hallo liebe Community,

ich beschäftige mich gerade mit einer etwas grundlegenderen Frage. In meiner Formelsammlung (S.21,Fred Böker - Formelsammlung für Wirtschaftswissenschaftler,3.Aufl.

2009)

steht unter dem Punkt "Rechenregeln für Potenzen mit reellen Exponenten" folgende "Regel": Für

a, b > 0

und

r, s \in R

gilt:

a^{b^{r}} = a^{(b^{r})} = {(a^{b})}^{r}

Meiner Berechnung zufolge kann dies nicht stimmen, da

{(a^{r})}^{s} = a^{r \cdot s} = {(a^{s})}^{r}

Beispiel:

2^{2^{3}} = 2^{(2^{3})} = {(2^{2})}^{3}

(ohne Klammer ist die Potenzierung rechtsassoziativ)
Mein Ergebnis:

256 = 256 \neq 64

Dann habe ich mich auf ins Wikipedialand gemacht und das Folgende gefunden:
"...Das Potenzieren ist weder kommutativ, denn beispielsweise gilt

2^{3} = 8 \neq 9 = 3^{2},

noch assoziativ, denn beispielsweise gilt

{(3^{1})}^{3} = 27 \neq 3 = 3^{(1^{3})}

Die Schreibweise

a^{b^{c}}

ohne Klammern bedeutet

a^{(b^{c})},

das Potenzieren ist demnach rechtsassoziativ, vgl. Operatorrangfolge. ..."

Scheint meine eigene Schlussfolgerung und Berechnung zu untermauern.

Sources: letzter Abschnitt unter: de.wikipedia.org/wiki/Potenz_%28Mathematik%29#Potenzgesetze
etwas detaillierter: de.wikipedia.org/wiki/Operatorrangfolge#Reihenfolge_gleichwertiger_Operatoren

Die Druckfehlerliste für die oben genannte Formelsammlung habe ich schon geprüft, scheint zumindest unter dem genannten Punkt richtig zu sein.

Würde mich über Hilfe/eine Erklärung wirklich freuen! :-)
Danke und schönen Tag noch.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff)

DrBoogie aktiv_icon

15:28 Uhr, 19.05.2014

Natürlich ist

(a^{b})^{r} = a^{b r}

und nicht

a^{b^{r}}

, Du hast Recht.

TeileDurchNull aktiv_icon

11:18 Uhr, 20.05.2014

Vielen Dank für die schnelle Rückmeldung.
Allerdings bin ich noch etwas skeptisch,da ich es komisch finde, dass so ein grundlegender Fehler in einer Formelsammlung auftaucht.
Oder meint ihr, dass das letzte = ein

\neq

hätte sein sollen und falsch gedruckt wurde?
Ich habe die relevante Passage mal eingescannt und den oben genannten Teil rot unterstrichen.
Danke.

Edddi aktiv_icon

11:41 Uhr, 20.05.2014

{(a^{b})}^{c} = a^{b \cdot c} = a^{c \cdot b} = {(a^{c})}^{b}

und

a^{b^{c}} = a^{(b^{c})}

Damit liegt wohl einfach ein Fehler im Druckwerk vor. Ob da nun ein Ungleich hinsollte, oder ob man's nicht besser gewusst hat beim Texten, kann man wohl nur spekulieren.

;-)

TeileDurchNull aktiv_icon

12:08 Uhr, 20.05.2014

Danke euch beiden, es ist natürlich schön wenn man richtig liegt, allerdings wäre mir eine zuverlässige Formelsammlung auch was wert. :-)
Bis dann.

Edddi aktiv_icon

13:34 Uhr, 20.05.2014

. .

. aber auch bei diesen Regeln gibt's Ausnahmen.

So müsste man

{(a^{b})}^{c} = a^{b \cdot c}

eigentlich einschränken!

So ist

z . B

{(a^{b})}^{c} = - a^{b \cdot c}

für

a < 0

und beliebige rationale

b

und

c,

falls a und

a \cdot b

ungerade Nenner haben und

a \cdot b

einen ungeraden Zähler hat

Bsp.:

{({(- 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} = 1^{\frac{1}{2}} = 1

aber

{(- 1)}^{(2 \cdot \frac{1}{2})} = {(- 1)}^{1} = - 1

Die Schreibweise

a^{b^{c}}

ohne Klammern bedeutet

a^{(b^{c}),}

das Potenzieren ist demnach rechtsassoziativ.

;-)

TeileDurchNull aktiv_icon

14:16 Uhr, 20.05.2014

Danke... aber das steht doch in meinem ersten Post?
Bedingung

a > 0

und das mit der Rechtsassoziativität auch.

In Bezug auf den zweiten Teil, du meintest

b

und

b \cdot c

und nicht "a und a*b", glaube ich.

Das Beispiel hatte ich auf Wikipedia schon gesehen, trotzdem danke. ;-)

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