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Notation Summenzeichen Bedeutung

Universität / Fachhochschule

Binomialkoeffizienten

Tags: Binomialkoeffizient

Fluktuation23 aktiv_icon

21:32 Uhr, 03.11.2020

\sum_{(k, l)} (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) (\begin{matrix} k \\ l \end{matrix}) l = n \cdot 3^{n - 1}

Was bedeutet dieses

(k, l)

unter dem Summenzeichen? Ich habe es als

\sum_{k = 1}^{n} \sum_{l = 1}^{n} (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) (\begin{matrix} k \\ l \end{matrix}) l = n \cdot 3^{n - 1}

sum from

k = 1

n

of sum from

l = 1

n

(n

choose

k) \cdot (k

choose

l) \cdot l = n \cdot 3^{n - 1}

(Wolframalpha geeigneter Ausdruck)

aufgefasst, jedoch stimmt dann die Gleichung nicht mehr. Wie ist das Zeichen stattdessen zu interpretieren?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Kombinatorik: Ziehen ohne Reihenfolge und ohne Zurücklegen

michaL aktiv_icon

21:44 Uhr, 03.11.2020

Hallo,

da

((\binom{n}{k})) = 0

für

k > n

gilt, kann man die Summe reduzieren auf

\sum_{k = 0}^{n} (\sum_{l = 0}^{k} ((\binom{n}{k})) ((\binom{k}{l})) l)

.

Man kann den ersten Binomialkoeffizienten noch ausklammern, wodurch die innere Summe besser handhabbar wird.

Mfg Michael

Fluktuation23 aktiv_icon

21:49 Uhr, 03.11.2020

Ich habe die Variante hier bei Wolframalpha eingegeben und die Terme scheinen nicht äquivalent zu sein

Respon

22:06 Uhr, 03.11.2020

. .

= \sum_{k = 0}^{n} [\sum_{l = 0}^{k} (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} k \\ l \end{matrix}) \cdot l] = n \cdot 3^{n - 1}

michaL aktiv_icon

22:11 Uhr, 03.11.2020

Hallo,

ich hätte noch im Angebot:

\sum_{k = 0}^{n} ((\binom{n}{k})) \cdot (\sum_{l = 0}^{k} l ((\binom{k}{l}))) \overset{(*)}{=} \sum_{k = 0}^{n} ((\binom{n}{k})) \cdot k \cdot 2^{k - 1}

Einen Beweis zu (*) findest du hier im Forum unter www.onlinemathe.de/forum/Beweise-folgende-Formel .

Wenn du nun die Funktion

f (x) = \sum_{k = 0}^{n} ((\binom{n}{k})) \cdot k \cdot x^{k - 1}

betrachtest, fällt die auf, dass
1. die gesuchte gerade

f (2)

entspricht und
2.

f

gerade die Ableitung der Funktion

g

mit

g (x) = \sum_{k = 0}^{n} ((\binom{n}{k})) x^{k}

ist.

Für

g

gibt es mithilfe des binomischen Lehrsatzes eine geschlossen(er)e Darstellung, wenn man

g (x) = \sum_{k = 0}^{n} ((\binom{n}{k})) x^{k} \cdot 1^{n - k}

schreibt.

Mit dieser Anleitung kommst du auf die gewünschte Summe.

Mfg Michael

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