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Nullfolgen

Universität / Fachhochschule

Tags: Nullfolge? Beweise

Darislav aktiv_icon

21:01 Uhr, 08.12.2022

Könnt ihr mir bitte weiterhelfen?

Danke im Voraus!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

rundblick aktiv_icon

21:13 Uhr, 08.12.2022

.
"... weiterhelfen? "

das hört sich so an, als ob du schon ziemlich

w e i t

bist..?

also schreib doch mal deine bisherigen Überlegungen auf ..

\to . .

.

du könntest zB gerne mit der lustigen Aufgabe

11 b)

(iii) das Feld von hinten aufrollen.. :-)

.

Darislav aktiv_icon

21:16 Uhr, 08.12.2022

Um ehrlich zu sein weiß ich nicht, wie ich das angehen soll. Ich bin so ziemlich schlecht darin.

Respon

02:06 Uhr, 09.12.2022

11 a) (i)

Es gelte

| a_{n}^{2} + 2 \cdot a_{n} | \leq ε

Betrache

z . B

a_{n} = - 2 + \frac{1}{n}

b_{n} = a_{n}^{2} + 2 \cdot a_{n} = {(- 2 + \frac{1}{n})}^{2} + 2 \cdot (- 2 + \frac{1}{n}) = \frac{1}{n^{2}} - \frac{2}{n}

michaL aktiv_icon

10:09 Uhr, 09.12.2022

Hallo,

Vielleicht ein bisschen Erläuterung:
Ja,

(a_{n}^{2} + 2 a_{n})_{n \in ℕ}

müsste gemäß Eigenschaft eine Nullfolge sein. Aber: Heißt das, dass auch

(a_{n})_{n \in ℕ}

selbst eine Nullfolge sein muss?.
(Die Umkehrung ist übrigens korrekt und leicht beweisbar: Ist

(a_{n})_{n \in ℕ}

eine Nullfolge, so auch

(a_{n}^{2} + 2 a_{n})_{n \in ℕ}

.)

Folgt also aus

a_{n} \cdot (a_{n} + 2) \to 0

automatisch, dass auch

a_{n} \to 0

gelten muss?
Der Satz vom Nullprodukt (wenn du den aus der Schule kennst) besagt ja nur, dass ein Produkt genau dann Null ist, wenn (mind.) einer der Faktoren Null ist. Es könnte also auch

a_{n} + 2 \to 0

gelten, woraus dann immer noch resultiert, dass

(a_{n}^{2} + 2 a_{n})_{n \in ℕ}

eine Nullfolge ist.

(Respons (Gegen-)Beispiel zielt genau darauf ab.)

Ein noch fieseres Gegenbeispiel ergibt sich übrigens aus

a_{n} := - 1 + (- 1)^{n}

.
Ein bisschen Rechnerei zeigt dir, dass die Folgeglieder stets zwischen den beiden Nullstellen von

x^{2} + 2 x

hin- und herpendeln, sodass

a_{n}^{2} + 2 a_{n} = 0

sogar konstant gilt. Und doch konvergiert

(a_{n})_{n \in ℕ}

nicht einmal, und schon gar nicht gegen 0.

Mfg Michael

HAL9000

11:02 Uhr, 09.12.2022

Wobei bei (i) auch schlicht die konstante Folge

a_{n} = - 2

als Gegenbeispiel genügt.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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