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Nullfolgen

Universität / Fachhochschule

Tags: Nullfolge? Beweise

 
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Darislav

Darislav aktiv_icon

21:01 Uhr, 08.12.2022

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Könnt ihr mir bitte weiterhelfen?

Danke im Voraus!

6FA238B7-2508-4D27-A750-D7F607D680BD

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
Antwort
rundblick

rundblick aktiv_icon

21:13 Uhr, 08.12.2022

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"... weiterhelfen? "

das hört sich so an, als ob du schon ziemlich weit bist..?

also schreib doch mal deine bisherigen Überlegungen auf .. ...

du könntest zB gerne mit der lustigen Aufgabe 11b) (iii) das Feld von hinten aufrollen.. :-)

.
Darislav

Darislav aktiv_icon

21:16 Uhr, 08.12.2022

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Um ehrlich zu sein weiß ich nicht, wie ich das angehen soll. Ich bin so ziemlich schlecht darin.
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Respon

Respon

02:06 Uhr, 09.12.2022

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11a)(i)
Es gelte |an2+2an|ε
Betrache z.B.
an=-2+1n
bn=an2+2an=(-2+1n)2+2(-2+1n)=1n2-2n


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michaL

michaL aktiv_icon

10:09 Uhr, 09.12.2022

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Hallo,

Vielleicht ein bisschen Erläuterung:
Ja, (an2+2an)n müsste gemäß Eigenschaft eine Nullfolge sein. Aber: Heißt das, dass auch (an)n selbst eine Nullfolge sein muss?.
(Die Umkehrung ist übrigens korrekt und leicht beweisbar: Ist (an)n eine Nullfolge, so auch (an2+2an)n.)

Folgt also aus an(an+2)0 automatisch, dass auch an0 gelten muss?
Der Satz vom Nullprodukt (wenn du den aus der Schule kennst) besagt ja nur, dass ein Produkt genau dann Null ist, wenn (mind.) einer der Faktoren Null ist. Es könnte also auch an+20 gelten, woraus dann immer noch resultiert, dass (an2+2an)n eine Nullfolge ist.

(Respons (Gegen-)Beispiel zielt genau darauf ab.)

Ein noch fieseres Gegenbeispiel ergibt sich übrigens aus an:=-1+(-1)n.
Ein bisschen Rechnerei zeigt dir, dass die Folgeglieder stets zwischen den beiden Nullstellen von x2+2x hin- und herpendeln, sodass an2+2an=0 sogar konstant gilt. Und doch konvergiert (an)n nicht einmal, und schon gar nicht gegen 0.

Mfg Michael
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HAL9000

HAL9000 aktiv_icon

11:02 Uhr, 09.12.2022

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Wobei bei (i) auch schlicht die konstante Folge an=-2 als Gegenbeispiel genügt.
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