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Nullfolgen zeigen

Universität / Fachhochschule

Tags: Beschränkt, Cauchy Folge, Fakultät, Häufungspunkt, Komplexe Zahlen, Nullfolge

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candyan

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13:41 Uhr, 14.11.2016

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Hallo ihr Lieben,

zz: Die Folge

{(\frac{n^{n}}{(2 n)!})}_{n}

ist eine Nullfolge.

In direktem Zusammenhang hatten wir dazu die Sätze "

{(z_{n})}_{n}

Nullfolge

\Leftrightarrow {(| z_{n} |)}_{n}

Nullfolge" und "Ist

{(z_{n})}_{n}

beschränkt und ist

{(w_{n})}_{n}

eine Nullfolge in

ℂ,

so ist auch

{(z_{n} w_{n})}_{n}

eine Nullfolge."

Mein Ansatz wäre:

\frac{n^{n}}{(2 n)!} = \frac{1}{(2 n)!} \cdot n^{n}

n^{n}

ist ja nach unten beschränkt, also

n^{n}

≥ 1 (oder?) und zz wäre dann nur noch, dass

\frac{1}{(2 n)!}

eine Nullfolge ist bzw. der Betrag hiervon. Allerdings habe ich keine Ahnung wie ich so weiter komme. Die Fakultät ist mir ein Dorn im Auge.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Online-Nachhilfe in Mathematik

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Shipwater

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14:40 Uhr, 14.11.2016

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Dein Ansatz ist falsch.

n^{n}

ist nicht beschränkt (sondern nur nach unten beschränkt). Der Satz "beschränkte Folge mal Nullfolge = Nullfolge" greift also nicht. Ich würde abschätzen:

(2 n)! = n! \cdot (n + 1) \cdot ... \cdot 2 n \geq n! \cdot n^{n}

.

Gruß Shipwater

candyan

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15:38 Uhr, 14.11.2016

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Abschätzen hab ich so in der Vorlesung noch nicht gehört, kann ich das denn einfach so machen?

Und dann:

Sei

ε > 0

.

n_{0} := \frac{1}{ε}

| \frac{n^{n}}{(2 n)!} - 0 | \leq | \frac{n^{n}}{n! \cdot n^{n}} | \leq | \frac{1}{n!} | \leq | \frac{1}{n} | \leq | \frac{1}{n_{0}} | \leq \frac{1}{\frac{1}{ε}} = ε

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ledum

ledum aktiv_icon

19:39 Uhr, 14.11.2016

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ja, wenn du kurz begründest dass

(2 n)! > n! \cdot n^{n}

Gruß ledum

candyan

candyan aktiv_icon

20:46 Uhr, 14.11.2016

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Mit vollständiger Induktion?

n! \cdot n^{n} < (2 n)!

n = 1

1 \cdot 1^{1} = 1 < (2 \cdot 1)! = 2

n \Rightarrow n + 1

(n + 1)! \cdot {(n + 1)}^{n + 1} < (2 \cdot (n + 1))!

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20:54 Uhr, 14.11.2016

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Wenn du dir

\frac{n^{n}}{(2 \cdot n)!}

explizit hingeschrieben denkst, kann du die Nullfolge sofort mit einer einfachen Abschätzung zeigen.

candyan

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21:09 Uhr, 14.11.2016

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Wie denn das?

Antwort

Respon

21:14 Uhr, 14.11.2016

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Etwa so:

\frac{n^{n}}{(2 \cdot n)!} = \frac{n \cdot n \cdot n \cdot n \cdot n \cdot n \cdot ... \cdot n}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot ... \cdot n \cdot (n + 1) \cdot (n + 2) \cdot (n + 3) \cdot ... \cdot (2 \cdot n)}

n + 1 > n \Rightarrow \frac{1}{n + 1} < n

( analog die anderen )

\Rightarrow

\frac{n \cdot n \cdot n \cdot n \cdot n \cdot n \cdot ... \cdot n}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot ... \cdot n \cdot (n + 1) \cdot (n + 2) \cdot (n + 3) \cdot ... \cdot (2 \cdot n)} < \frac{n \cdot n \cdot n \cdot n \cdot n \cdot n \cdot ... \cdot n}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot ... \cdot n \cdot n \cdot n \cdot n \cdot ... \cdot n} = \frac{1}{n!}

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Shipwater

Shipwater aktiv_icon

21:19 Uhr, 14.11.2016

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Das war doch schon mein Vorschlag aus Beitrag 1. Die Abschätzung ist offensichtlich, da braucht es keine Induktion für.

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21:21 Uhr, 14.11.2016

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Sorry !
Habe ich nicht gelesen. Ich werde in mich gehen !

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