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Nullhomotopie
Universität / Fachhochschule
Funktionentheorie
Tags: einfach zusammenhängend, Funktionentheorie, Homotopie, nullhomotop
 
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guten Abend, ich bin auf etwas gestoßen, das mich ein bisschen verwirrt. Es geht um den Zusammehang zwischen Nullhomotopie und zusammenhängenden Mengen. Nach der Definition in meinen Unterlagen ist das erstmal so: Sei offen Eine geschlossene Kurve auf heißt nullhomotop, wenn es eine freie Homotopie zwischen und einer konstanten Kurve gibt. (ii) heißt einfach zusammenhängend, wenn zusammenhängend ist und jede geschlossene Kurve in nullhomotop ist. Also Beispiel für eine einfach zusammenhängende Menge ist aufgeführt. Wenn man nun eine Kreiskurve, also . um den Punkt anschaut, dann ist die ja geschlossen. Außerdem liegt die komplett in U. Da einfach zusammenhängend ist dem Beispiel nach, müsste dann ja die Kurve nullhomotop sein, also eine freie Homotopie zwischen und einer konstanten Kurve existieren. Nach einem anderen Satz ist aber bei einer freien Homotopie zwischen zwei Kurven die Windungszahl beider Kurven um einen Punkt identisch. Nimmt man nun als diesen Punkt den Punkt so hat ja die Windungszahl 1. Die konstante Kurve dagegen die Windungszahl 0. Was ja gemäß der freien Homotopie nicht sein kann, nach diesem Satz. Wo ist mein Denkfehler? Ich hoffe jemand kann mir da helfen :-D) LG Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hi Gammler, mein erster Gedanke dazu ist: wenn die konstante Kurve ist, dann darf zunächst mal gelten (by abuse of notation). Wenn nun die Homotopie zwischen und ist, für , so dass und , und die "überstrichene Fläche" (also das Bild der Homotopie) ist, dann darf zudem gelten. Ansonsten kann sich die Windungszahl ändern. Ist ja klar, wenn ich eine Kurve nehme und sie über den betrachteten Punkt ziehe, so kann die Windungszahl nicht gleich bleiben. Viele Grüße Sina |
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Hallo Sina, also wenn ich dich richtig verstehe, meinst du, dass der Punkt (bei dir ?) um den ich die Windungszahlen der Kurven errechne, nicht im Bild der Homotopie liegen darf? Lg |
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Hallo, genau so ist es. Ich glaube, bei der Arbeit mit Windungszahlen definiert man das etwas anders, so dass es hier zu Verwirrungen kommen kann. Dort "locht" man die Ebene. Ist die Ebene und der Punkt, von dem du die Windungszahl errechnest, dann bleibt die Windungszahl bei und gleich, wenn es eine Homotopie von und in gibt. Man nimmt also erst den betrachteten Punkt aus der Ebene heraus und betrachtet dann alle möglichen Homotopien, diese können dann in ihrem Bild den Punkt per Definition nicht enthalten. Die Aussage ist aber äquivalent zu der Aussage, dass die Homotopie in den Punkt nicht im Bild haben darf. Beste Grüße Sina |
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Hallo Sina, sorry dass ich erst jetzt antworte, hatte irgendwie gedacht, ich hätte schon was geschrieben. Danke dir jedenfalls, damit komme ich schon nmal weiter ;-) Lg |
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