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Nullmenge auf R

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Maßtheorie

Tags: Maßtheorie

 
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erstii

erstii

21:10 Uhr, 22.04.2018

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Hallo,

ich denke, dass ich bei der folgenden Aufgabe einen Fehler habe, weil ich den dritten Aufgabenteil ganz ähnlich wie meinen zweiten Aufgabenteil lösen könnte. Das ist so bestimmt nicht vorhergesehen.

Würde mich freuen, wenn wer mal rüberguckt.



Ich poste einmal die gesamte Aufgabe, weil die einzelnen Aufgabenteile stark miteinander zusammenhängen.

Vorab: Das Lesbegue Maß haben wir noch nicht richtig definiert, dafür die Abbildung len(.), die im Prinzip das gleiche macht.

Sei I ein Intervall, dann ist len(I) = supr I - inf I.

Nullmenge ist definiert als:

Eine Teilmenge N⊆ℝ heißt dann eine Nullmenge, wenn es zu jedem ε>0 offene Intervalle ln,n∈ℕ gibt so, dass

N⊆⋃n=0∞ln und ∑n=0∞ len( ln)<ε.



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Zur Aufgabe:

Es soll gezeigt werden, dass eine offene Menge in ℝ keine Nullmenge ist. Gehen Sie dazu wie folgt vor:

a) Zeigen Sie, dass jede Teilmenge einer Nullmenge N∈ℝ ebenfalls eine Nullmenge ist.
→ erledigt.

b) Zeigen Sie, dass ein kompaktes Intervall [a,b]⊆ℝ,a<b keine Nullmenge ist.
→ Hier habe ich vermutlich einen Fehler.

c) Folgern Sie, dass keine nichtleere offene Menge in ℝ eine Nullmenge sein kann.


Zu b)

Angenommen [a,b] ist eine Nullmenge.

Dann existieren für ε:=b-a2 Intervalle ln mit


i)[a,b]⊆⋃n=0∞ln und ii) ∑n=0∞ len( ln)<b-a2


Sei x∈[a,b] beliebig. Dann folgt wegen i), dass x∈lo, oder x∈l1,...., oder x∈ln.


Für die Länge gilt somit wegen i), dass

0<b-a= len( [a,b])<∑n=0∞ len( ln)<b-a2

was ein Widerspruch ist, weshalb [a,b] keine Nullmenge ist.

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Ich habe hier nirgends benutzt, dass [a,b] kompakt ist, deshalb sollte der Beweis, wenn er richtig wäre, auch für offene Intervalle funktionieren.

In c) ist zwar von einer beliebigen offenen nichtleeren Menge die Rede, aber wenn die Menge eine Vereinigung aus offenen Intervallen ist, kann man ja im Prinzip trotzdem so wie in b) vorgehen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
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erstii

erstii

22:09 Uhr, 22.04.2018

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"... kann man ja im Prinzip genau so vorgehen."

Soll in der letzten Zeile stehen... das Format spinnt hier gerade rum.
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DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

22:34 Uhr, 22.04.2018

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Das ist ziemlich unsauber aufgeschrieben, aber im Grunde richtig.
Der Beweis geht gleichermaßen für offene und geschlossene Intervalle.
Und wenn man weiß, dass eine beliebige offene Menge eine Vereinigung von Intervallen ist, ist man wirklich sofort fertig bei c).
Frage beantwortet
erstii

erstii

23:19 Uhr, 22.04.2018

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Danke